引言

乘法公式包括平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²以及完全平方公式(a±b)²=a²-2ab+b²，作为整式乘法运算中的一朵奇葩，以其形式的对称性以及应用的广泛性，在初中代数的知识图谱中占据着举足轻重的地位。它不仅是连接数与式、算术与代数的桥梁，更是培养学生抽象思维、推理能力和模型思想的重要载体。

然而在传统的教学实践中不难发现，部分课堂仍陷于“重结论灌输、轻过程探究，重重复演练、轻思维发展”的困境。此种模式下，学生往往沦为公式的被动接受者和机械套用者，虽能应对标准题型，但一旦面临真实情境、复杂变式或需要创造性思维的问题时，便显得力不从心。这种“知其然而不知其所以然”的学习，难以触及数学的本质，更无法实现素养的提升。

因此，当下的数学教学亟需一场深刻的变革：即从关注“教什么”和“怎么教”的技术层面，转向关注“学生如何学”和“何以学会”的认知层面。真正的教学，应致力于搭建适宜的“认知阶梯”，引导学习者亲历知识的诞生与生长过程，实现有意义的、深度的学习。本文正是基于此理念，以乘法公式为例，尝试构建并阐述一种聚焦于学生思维发展的阶段性教学路径，以期为实现从“知识传授”到“思维启迪”的教学范式转变提供可资借鉴的案例。

一、乘法公式的阶段性教学设计

本研究构建的教学设计共分为五个环环相扣、层层递进的阶段，旨在引导学生逐步攀登认知的高峰。

（一）第一阶段：初步认识——公式的生成

本阶段的核心目标是让学生亲历公式的生成过程，感受从具体到抽象的数学归纳思想，体会数学发现的美妙，引导学生发现两个乘法公式的结构特征。

1. 平方差公式的生成片段

（1）计算观察，感知规律

探究任务：请计算下列各式，并仔细观察算式结构特征与运算结果之间的联系。

(x+2)(x-2)=?

(2m+1)(2m-1)=?

(y+3z)(y-3z)=?

（2）引导学生从三个层面进行观察：

算式结构：每个算式都是两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反项。

运算结果：结果都是一个二项式，且恰为“相同项的平方”减去“相反项的平方”。

规律猜想：鼓励学生用自然语言和数学符号（字母）概括猜想，即(a+b)(a-b)=a²-b²。

（3）双重验证，确证猜想

代数推理验证：引导学生运用多项式乘法法则进行严格的代数推导：

(a+b)(a-b)=a·a+a·(-b)+b·a+b·(-b)=a²-ab+ab-b²=a²-b²

此过程不仅验证了猜想的正确性，更让学生直观感受到算式中-ab与+ab相互抵消的数学和谐之美，渗透了“消元”或“化归”的思想。

几何直观验证：利用图形面积，为抽象的代数关系提供直观支撑。

问题：如图1所示，边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，求剩余部分（阴影区域）的面积。

方法一（直接求差）：面积=a²-b²。

方法二（割补转化）：将阴影部分裁剪后，重新拼凑成一个新的长方形。引导学生发现新长方形的长为(a+b)，宽为(a-b)，故其面积为(a+b)(a-b)。

结论：由于同一图形的面积不变，因此a²-b²=(a+b)(a-b)。这种数形结合的方法，极大地增强了学生对公式可信度的认同感，也深刻体现了数学的内在统一性。

2. 完全平方公式的生成片段

（1）计算观察，感知规律

探究任务：请计算下列各式，并仔细观察算式结构特征与运算结果之间的联系。

(x+3)²=(x+3)(x+3)=?

(2m+1)²=(2m+1)(2m+1)=?

(y-2z)²=(y-2z)(y-2z)=?

（2）引导学生从三个层面进行观察

算式结构：每个算式都是两个完全相同的二项式相乘。

运算结果：结果都是一个三项式。结果恰为“前项的平方”加上“后项的平方”，再加上（或减去）“前项与后项乘积的两倍”。

规律猜想：鼓励学生用自然语言和数学符号（字母）概括猜想，即(a+b)²=a²+2ab+b²与(a-b)²=a²-2ab+b²。

（3）双重验证，确证猜想

代数推理验证：引导学生运用多项式乘法法则进行严格的代数推导：

(a+b)²=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²

(a-b)²=(a-b)(a-b)=a·a+a·(-b)+(-b)·a+(-b)·(-b)=a²-ab-ab+b²=a²-2ab+b²

此过程不仅验证了猜想的正确性，更让学生直观感受到算式中两个ab项合并为2ab的必然性，渗透了“归纳”与“一般化”的数学思想。

几何直观验证：利用图形面积，为抽象的代数关系提供直观支撑。

问题：如图2所示，如何通过计算边长为(a+b)的大正方形的面积来理解公式？

方法一（整体视角）：面积=(a+b)²。

方法二（分块求和）：大正方形的面积由四个部分构成：一个边长为a的大正方形（面积a²），一个边长为b的小正方形（面积b²），以及两个长为a、宽为b的长方形（面积均为ab）。故总面积=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²。

结论：由于表示的是同一图形的面积，因此(a+b)²=a²+2ab+b²。这种数形结合的方法，极大地增强了学生对公式可信度的认同感，并深刻揭示了公式的几何意义，帮助学生构建起代数与几何之间的桥梁。

设计意图：本环节将公式的“发现权”和“验证权”交还给学生，使其不再是冰冷的结论，而是学生通过自身努力探索获得的成果。代数与几何的双重验证，不仅夯实了学生对公式的理解，更初步渗透了数学的严谨性与方法论。

（二）第二阶段：基础应用——在辨析与应用中掌握公式的本质

在学生初步形成概念后，本阶段旨在通过辨析与基础应用，帮助学生准确把握公式的结构特征，实现准确识别与熟练应用。

1. 平方差公式的基础应用

（1）判别任务：下列各式中，哪些可以运用乘法公式计算？为什么？

(-x+y)(x+y) （可以，视为 (y-x)(y+x)，符合 (a+b)(a-b) 形式）

(a-)² （不可以，此为完全平方式，非两数和与差的形式）

(ab-1)(1+ab) （可以，相同项为 ab，相反项为 1 和 -1）

(m-n)(-m-n) （可以，提出负号后转化为 -(m-n)(m+n)，符合结构）

此练习的关键在于引导学生剥离“符号”和“顺序”的表象干扰，紧紧抓住“是否存在相同项和相反项”这一结构本质。

（2）计算任务

(3a+4b)(3a-4b)

(-x-y)(x-y)

通过数值计算，让学生切身感受乘法公式在简化运算方面的强大威力，体会数学的实用价值，激发学习兴趣。

2. 完全平方公式的基础应用

（1）判别任务：下列各式中，哪些可以运用完全平方公式计算？为什么？

(-x+y)²（可以，可转化为(y-x)²，符合(a-b)²形式）

(a-b)(a+b)（不可以，此为平方差公式，非两相同二项式相乘的形式）

(1+2m)²（可以，完全符合(a+b)²形式）

(-m-n)²（可以，提出负号可转化为[-(m+n)]²=(m+n)²，符合(a+b)²形式）

此练习的关键在于引导学生剥离“系数”和“符号”的表象干扰，紧紧抓住“是否为两个完全相同的二项式相乘”这一结构本质。

（2）计算任务

(2x+3y)²

(-2a²-3b³)²

(a+b+c)²

通过数值计算，让学生切身感受完全平方公式在简化运算方面的强大威力，并与一项项相乘的繁琐过程形成对比，深刻体会“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”的口诀在计算中的应用，从而巩固公式、激发学习兴趣。

设计意图：本阶段通过正反例辨析，强化学生对公式模型关键特征的把握，避免形式上的混淆。直接应用则巩固运算技能，并通过实际例子展现公式的简便性，实现从“理解”到“会用”的跨越。

（三）第三阶段：灵活应用——发掘应用公式的能力

本阶段是学生思维能力提升的关键期，旨在引导学生理解公式中字母的广泛代表性，能够发现题目中可以运用公式解决问题的突破口，并能处理各类变式问题，实现知识的迁移与转化。

因为灵活运用的题型多为两个公式共同使用，因此将平方差公式和完全平方公式的内容融合在一起来探讨。

1. 简化运算

15.1×14.9+9.9²

3000²-2998×3002

(a+2b-3)(a-2b-3)

2.

如果x²-4x+1=0，那么x²+=_______。

这道题目由x²+考虑到将x+完全平方，再由题干条件如何能够得到x+，即将x²-4x+1=0两边同时除以x可得x+=4。

3.

若a=7x-5,b=-4x+2,c=-3x+4，已知a²+b²+c²=37，求ab+bc+ac的值。

此题看到关键信息a²+b²+c²以及ab+bc+ac，马上联想到(a+b+c)²，因此尝试将a,b,c相加，发现(a+b+c)²=1，也就可以利用公式解决问题了。

4.

(2+1)×(2²+1)×(2⁴+1)×……×(2²⁰⁴⁸+1)的个位数字是______。

首先由题目的特征联想到×(2-1)后连续利用平方差公式后得出结果为2⁴⁰⁹⁶-1，再来探究2ⁿ的个位数的规律：2,4,8,6四个数为一周期循环，因此得到2⁴⁰⁹⁶个位数为6，减去1后个位数字为5。

5.

若a=2022×2023+1，b=2022²-2022×2023+2023²，请判断a，b的大小关系。

观察b的结构特征类似完全平方公式，b=2022²-2022×2023+2023²=(2022-2023)²+2022×2023=1+2022×2023，因此a=b。

设计意图：本阶段需要学生在题干中发现可以使用平方差公式、完全平方公式或是联合使用两个公式、亦或是连续多次使用公式的突破口，有些题目需要从题目和问题双向推出联系和纽带，对于学生来说小有难度的。

（四）第四阶段：融合与建构——在联系中洞察公式的价值

本阶段旨在引导学生将乘法公式置于更广阔的知识网络中，理解其与其他知识的联系，主动建构知识体系，感受数学的联通之美。

1. 仔细观察，探索规律

…

（1）由此猜想

①

②

③

（2）求

的个位数字是多少?

（3)求

的值。

2. 阅读理解并解答

在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？

初步思考：

同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：

解：-x²+2x+3=-(x²-2x)+3=-(x²-2x+1-1)+3=-(x²-2x+1)+1+3=-(x-1)²+4

因为(x-1)²≥0，

所以-(x-1)²≤0，

所以当x=1时，-(x-1)²的值最大，最大值是0，

所以当-(x-1)²=0时，-(x-1)²+4的值最大，最大值是4，

所以-x²+2x+3的最大值是4。

尝试应用：

（1）求代数式-x²+4x+6的最大值，并写出相应的x的值；

（2）已知A=2x²-2x+1，B=x²+6x-17，请比较A与B的大小，并说明理由；

设计意图：本教学阶段的核心目标在于引导学生摆脱对单一知识点的孤立理解，转而以一种更为全面和立体的视角，深入探究乘法公式的内涵与外延。在纵向维度上，我们着重强调乘法公式与题目所给材料信息之间的紧密联系，以及其与后续学习内容的有效衔接，确保学生能够在一个连贯的知识链条中理解和运用乘法公式。而在横向维度上，我们则着力推动乘法公式与其他数学公式及多样化解题策略的有机融合，打破知识点之间的壁垒，促进知识的交叉与渗透。通过这种纵横交织的教学设计，我们旨在帮助学生逐步构建起一个结构化、系统化的知识网络体系，从而有效提升他们在数学学习中的洞察力、分析力和综合运用能力，为其未来的深入学习和发展奠定坚实的基础。

（五）第五阶段：建模与创新——在应用中升华公式的智慧

这是教学设计的最高层次，旨在引导学生将公式作为解决实际问题和进行数学创新的思维工具，实现从“解题”到“解决问题”的飞跃。

1. 问题一

如图3，现有三种类型的卡片：

1号卡片：边长为a的正方形卡片；

2号卡片：边长为b的正方形卡片；

3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中a＞b。

（1）填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____。

（2）填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为(5a+7b)(4a+3b)的长方形，那么x+y+z的值为_____。

（3）现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长。

（4）将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5．

情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为S₁；

情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为S₂，如果S₂-S₁=24，求2号卡片的边长。

提供三种类型的卡片，其中类型Ⅰ卡片是边长为a的正方形，类型Ⅱ卡片是长为a、宽为b的长方形，类型Ⅲ卡片是边长为b的正方形。让学生利用这些卡片（每种类型卡片数量不限）来围成一个新的长方形，并探索这个长方形的面积该如何表示。在操作过程中，学生需要思考如何选择和组合不同类型的卡片，以构造出满足条件的长方形，进而通过计算和推理，得出新长方形面积的表达式。这一过程要求学生将之前所学的乘法公式知识，灵活运用到实际问题的解决中，实现知识的迁移与创新。

在具体实施过程中，教师可先引导学生观察三种卡片的形状与尺寸特征，明确类型Ⅰ卡片面积为a²，类型Ⅱ卡片面积为ab，类型Ⅲ卡片面积为b²。随后让学生分组进行卡片拼接操作，鼓励他们尝试不同的组合方式。当学生成功围成新长方形后，教师引导他们分析新长方形的长与宽分别由哪些卡片组合而成，比如长可能是由若干个类型Ⅱ卡片和类型Ⅰ卡片拼接而成，宽可能是由类型Ⅲ卡片和类型Ⅱ卡片拼接而成。接着学生根据长方形面积公式，结合所使用卡片的面积，通过加法和乘法运算，推导出新长方形面积的表达式。在整个过程中，教师要巡回指导，及时解答学生的疑问，确保每个学生都能积极参与到问题的解决中，从而真正达到将乘法公式知识灵活运用到实际问题中，实现知识迁移与创新的目的。

2. 问题二

我们已学完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²，观察下列式子：

x²+4x+2=(x²+4x+4)-2=(x+2)²-2

∵(x+2)²≥0，∴x²+4x+2=(x+2)²-2≥-2，原式有最小值是-2；

-x²+2x-3=-(x²-2x+1)-2=-(x-1)²-2，

∵-(x-1)²≤0，∴-x²+2x-3=-(x-1)²-2≤-2，原式有最大值是-2；

并完成下列问题（图7）：

（1）代数式x²-4x+1有最（填大或小）值，这个值= 。

（2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务。

①用含x的式子表示花圃的面积；

②请说明当x取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？

设计意图：本环节旨在模拟数学发现与创新的真实过程，使学生能够在全新的问题情境中创造性地运用所学知识。这不仅极大地激发了学生的学习兴趣和成就感，更有针对性地培养了他们的数学建模能力、知识迁移能力及创新意识，从而将数学核心素养的培育落到实处。

通过这一系列由浅入深、层层递进的教学活动设计，学生不仅掌握了乘法公式的基本形式与应用技巧，更在探索与实践中体会到了数学知识的内在联系与逻辑之美。从最初对公式的直观感知，到逐步理解其背后的数学原理与思想方法，再到能够灵活运用公式解决复杂问题，这一过程见证了学生数学思维与能力的全面提升。特别是在建模与创新阶段，学生面对真实问题情境时，能够主动调动所学知识，进行创造性思考与尝试，这种将数学知识转化为解决实际问题能力的过程，正是数学教育所追求的核心目标。整个教学设计强调了学生的主体性与参与性，鼓励他们在“做中学”“用中学”，从而真正实现了从知识传授到思维启迪、从解题技巧到问题解决能力的范式转变，为学生的终身学习与全面发展奠定了坚实的基础。

二、教学反思与启示：迈向深度学习的实践智慧

本教学设计的实施，不仅关乎一个公式的教与学，更关乎教学理念的更新与教学行为的变革。以下结合实践，提出几点深层次的反思与启示。

（一）认知阶梯的构建：必须遵循序列性与差异性

“五阶段”教学设计构成了一个相对完整的认知序列。教学实践表明，严格的序列性是保障深度学习发生的前提。跳跃式教学或过早引入高难度综合题，无异于拔苗助长，只会导致学生基础不牢，产生挫败感。教师应成为耐心的“阶梯搭建者”，确保学生在前一阶段获得充分体验和稳固基础后，再引导其步入下一阶段。

同时，必须正视学生的个体差异性。这套阶梯并非要求所有学生同步攀登。对于学习困难的学生，应允许其在“基础应用”阶段多作停留，通过更多样化的辨析练习夯实基础；对于学有余力的学生，则可在“融合与建构”和“建模与创新”阶段给予更开放、更具挑战性的任务，如自主设计一道蕴含乘法公式的数学建模题。实施分层任务和弹性分组是应对差异的有效策略。

（二）学生主体地位的落实：从“观众席”到“舞台中央”

本设计的生命力在于将学生置于学习的中心。在“初步认识”阶段，公式是学生自己“发现”的；在各个环节，规律是学生通过观察、比较“归纳”的。教师的作用应从“知识的授予者”转变为“学习的引导者、组织者和促进者”。

这意味着课堂形态需要发生根本改变：减少教师的单向讲授，增加学生的自主探究、合作交流与展示分享。例如，在几何验证环节，可以让学生小组合作，动手剪纸、拼接、讲解；在变式应用环节，可以鼓励学生自己编题、互评。只有当学生真正成为学习活动的主动参与者，而非被动接受者，其思维才能被激活，深度学习才能真正实现。

（三）数学思想方法的渗透：教学的“暗线”与灵魂

乘法公式的教学，明线是掌握一个运算工具，暗线则是渗透重要的数学思想方法。本设计始终将数形结合、从特殊到一般、转化与化归、模型思想等作为贯穿始终的灵魂。

在反思中，教师应自问：是否在验证环节充分展现了数形结合的魅力？是否在变式应用中强调了化归的思想（将陌生转化为熟悉）？是否在建模环节凸显了模型的力量？对这些思想方法的挖掘与凸显，是数学教学超越技能训练、走向素养培育的关键。它们犹如“暗线”，编织起知识的网络，赋予数学学习以深刻的智慧和持久的影响力。

（四）评价体系的多元化：关注过程、思维与成长

深度学习的达成需要与之匹配的多元评价体系。评价不应仅是单元结束时的一张试卷，而应贯穿于教学的全过程，并且维度多元。

过程性评价：关注学生在课堂探究中的参与度、在小组活动中的合作精神、在解决问题时表现的策略选择。教师的课堂观察、即时提问、对学生探究过程的点评都是重要的评价手段。

表现性评价：例如，评价学生几何验证环节的动手能力与表达逻辑，评价其在新定义问题中的迁移能力。

成长性评价：通过对比学生在“初步认识”阶段的困惑与在“灵活应用”阶段的从容，评价其思维能力的成长变化。

这种“重视过程、兼顾结果、鼓励成长”的多元评价体系，才能更全面、更公正地反映深度学习的成果，并反过来促进教与学的改进。

三、结语

乘法公式，这个看似简洁的代数表达式，其教学旅程却可以如此深邃而广阔。我们带领学生走过的，远不只是一条习得运算技能的捷径，而是一段充满发现、验证、挑战与创造的智慧探索之旅。五级认知阶梯的意义早已超越了一个公式本身。它是在培育一种思维的习惯：一种乐于观察、敢于猜想、严于验证、善于联系、勇于创新的科学精神。当学生未来面对任何未知领域时，这种内化于心的认知路径与思维品质，将成为他们探索世界最可依仗的利器。

诚如数学教育大家波利亚所言：“一个好的教师，与其是奉献真理，不如说是教人发现真理。”我们关于乘法公式的教学设计，其最终愿景，并非仅仅是让学生熟记a²-b²=(a+b)(a-b)这一等式，而是期望通过在他们心中埋下一颗种子——一颗关于数学的简洁、和谐、力量与智慧之美的种子。经由这般深度学习的淬炼，数学将不再是一门枯燥的学科，而是一片等待探索的璀璨星河。而每一位学生，都将有机会成为这星河中，那位手持思维的火炬，勇敢前行的探索者。

参考文献：

1. [1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S]. 北京:人民教育出版社,2022.
2. [2] 陈建国,陆炜平. “再创造”下初中数学技能课的课堂实践——以“3.4乘法公式”（第3课时）的教学为例[J]. 中学数学,2021(22):85-87.
3. [3] 李霞,王婷. 初中数学公式与法则的教学思考——以“整式乘法与因式分解”为例[J]. 中学数学教学参考,2020(11):11-14.