引言

相比传统钢结构和钢筋混凝土结构，型钢混凝土组合结构在抗震性能、耐久性能以及建造速度等方面具有明显的优势，已被大量应用于高层建筑结构中。国内已建成的超高层建筑较多采用了型钢混凝土结构形式，例如上海环球金融中心（492m）、深圳京基金融中心（439m）和上海中心大厦（632m）均采用了型钢混凝土结构。大型建筑会使用数量庞大的建设材料，在传统的结构设计中，对其中的杆件单元往往会浪费一些材料，由于大型建筑杆件单元数量庞大，材料的浪费叠加起来将会是一个巨大的数字。所以对型钢混凝土组合结构进行优化设计，在满足规范要求的前提下尽可能降低成本成为了我国今后土木工程行业发展的迫切需要。

1 型钢混凝土柱承载力计算

抗压承载力和抗剪承载力是型钢混凝土柱承载力的主要组成部分。在计算抗压承载力时，可以根据轴力的位置，将柱分为轴心受压柱和偏心受压柱。偏心受压柱又可分为小偏心受压柱和大偏心受压柱。型钢混凝土柱可能处于受压、压弯、压弯和剪切或弯曲、剪切和扭转的组合应力状态。无论是怎样的柱，轴力都对柱的力学性能起着非常重要的影响，因此轴力是计算型钢混凝土柱承载力时不可忽略的最重要因素。

对于在轴心受压或者偏心受压下的柱，在承载力达到极限时，主要有两种形式：一种是被叫做材料破坏的形式，在此时柱的截面材料达到极限状态；另一种是被叫做失稳破坏，在此时虽然截面材料还没有达到极限状态，但是由于柱的变形急剧增长而使结构破坏。在工程实践中型钢混凝土柱的失稳破坏情况一般比较少见，除此以外，工程师在进行结构设计时都会考虑材料达到极限状态也就是结构发生材料破坏而极力避免出现失稳破坏的情况。综上所述，本文在计算型钢混凝土柱的受压承载力时只考虑材料破坏的情况。本文主要以规范作为型钢混凝土柱的承载力设计依据。

2 型钢混凝土柱的构造要求

型钢混凝土柱的构造要求主要根据规范来确定，包括混凝土强度等级要求、混凝土保护层厚度要求、型钢的构造要求和钢筋构造要求。

2.1 型钢混凝土柱的混凝土等级要求

根据国家相关规范，混凝土强度等级可以取C30到C60。本文的型钢混凝土结构优化选择的混凝土强度等级均为C30。

2.2 混凝土保护层厚度的要求

型钢混凝土框架柱和转换柱最外层纵向受力钢筋的混凝土保护层最小厚度应符合现行国家标准《混凝土结构设计规范》GB50010的规定。型钢的混凝土保护层最小厚度不宜小于200mm。

2.3 型钢的构造要求

型钢混凝土柱中型钢钢板厚度不宜小于8mm，其钢板宽厚比应符合表1的规定。

表1 型钢混凝土柱中型钢钢板宽厚比限值

2.4 钢筋的构造要求

型钢混凝土框架柱和转换柱纵向受力钢筋的直径不宜小于16mm，其全部纵向受力钢筋的总配筋率不宜小于0.8％，每一侧的配筋百分率不宜小于0.2％；纵向受力钢筋与型钢的最小净距不宜小于30mm；柱内纵向钢筋的净距不宜小于50mm且不宜大于250mm。纵向受力钢筋的最小锚固长度、搭接长度应符合现行国家标准《混凝土结构设计规范》GB50010的规定。箍筋的直径至少要大于8mm，箍筋的净距最大不超过250mm。

3 数学模型的建立

3.1设计变量

本文设计的柱为对称配置，因此它的设计变量相比梁要减少一些。对于型钢混凝土框架柱来说，需要通过确定它的截面高度h、截面宽度b、计算跨度l、型钢腹板宽度t_w、型钢腹板高度h_w、型钢翼缘厚度t_af、型钢翼缘宽度b_af、纵向受力钢筋数量n_s、纵向受力钢筋直径d_s、箍筋间距s_sv、箍筋直径d_sv、钢筋的混凝土保护层厚度、型钢的混凝土保护层厚度、混凝土等级、钢筋强度等级以及型钢选用的强度等级。由于在实际的工程建设当中，设计师在设计型钢混凝土柱之前，它的计算长度就已经被确定下来了，因此在本文中不作为设计变量考虑。钢筋与型钢的混凝土保护层厚度可根据《组合结构设计规范》与《混凝土结构设计规范》来确定，所以它们也不作为待优化变量来考虑。至于混凝土等级、钢筋等级以及型钢的等级，由于在工程实践中已经根据相关规范提前确定，所以也不将它们作为设计变量。

为了在实际的工程建设中发挥作用，型钢混凝土柱的截面尺寸为整数，模数为50mm。通过市场现有的钢材规格来确定型钢的各种几何尺寸。柱截面所需钢筋直径可以根据现存的钢筋直径进行选择。

综上所述，型钢混凝土框架柱优化设计中的待优化设计变量为10个，将其表示为：

各个设计变量如图1所示。

各个待优化变量取值范围如下：

：300，350，400，……，1000；

：300，350，400，……，1500；

：8，10，12，14，16，18，20，22，……，50；

：8，10，12，14，16，18，20，22，24，25；

：200，250，300，350，400，……，1200；

：200，250，300，350，……，800；

：2，3，4，……，12；

：16，18，20，22，24，25；

：8，10，12，14，16，18；

：100，150，200，250；

以上优化变量的单位均为毫米。

3.2目标函数

型钢混凝土柱的目标函数是它在单位长度上的价格，它的数学表达式如下：

3.3约束条件

型钢混凝土柱优化设计的约束条件为承载力约束、变形约束和结构约束。

（1）承载力约束条件

型钢混凝土柱的正截面轴心受压承载力约束条件:

型钢混凝土柱的正截面偏心受压承载力约束条件：

受剪承载力约束条件:

斜截面的抗剪承载力约束条件：

（2）构造约束条件

型钢的宽厚比要求（下面的两个式子均是在Q345型钢的条件下生成的）：

型钢的混凝土保护层厚度要求：

型钢的厚度要求：

纵向受力钢筋的直径要求：

纵向受力钢筋的净距要求：

纵向受力钢筋的配筋率要求：

箍筋的直径要求：

箍筋的净距要求：

式中，N为轴向压力设计值，A_c、、分别为混凝土、钢筋、型钢的截面面积；、、分别为混凝土、钢筋、型钢的抗压强度设计值；φ为轴心受压柱稳定系数；e为轴向力作用点至纵向受拉钢筋和型钢受拉翼缘的合力点之间的距离；e₀为轴向力对截面重心的偏心矩；e_i为初始偏心矩；e_a为附加偏心距；α₁为受压区混凝土压应力影响系数；β₁为受压区混凝土应力图形影响系数；M为柱端较大弯矩设计值；N为与弯矩设计值M相对应的轴向压力设计值；M_aw为型钢腹板承受的轴向合力对受拉或受压较小边型钢翼缘和纵向钢筋合力点的力矩；N_aw为型钢腹板承受的轴向合力；f_c为混凝土轴心抗压强度设计值；f_a、f′_a分别为型钢抗拉、抗压强度设计值；f_y、f′_y分别为钢筋抗拉、抗压强度设计值；A_s、A′_s分别为受拉、受压钢筋的截面面积；A_af、A′_af分别为型钢受拉、受压翼缘的截面面积；b为截面宽度；h为截面高度；h₀为截面有效高度；t_w为型钢腹板厚度；t_f、t′_f分别为型钢受拉、受压翼缘厚度；ξ_b为相对界限受压区高度；E_s为钢筋弹性模量；x为混凝土等效受压区高度；a_s、a_a分别为受拉区钢筋、型钢翼缘合力点至截面受拉边缘的距离；a′_s、a′_a分别为受压区钢筋、型钢翼缘合力点至截面受压边缘的距离；a为型钢受拉翼缘与受拉钢筋合力点至截面受拉边缘的距离；δ₁为型钢腹板上端至截面上边的距离与h₀的比值，δ₁h₀为型钢腹板上端至截面上边的距离；δ₂为型钢腹板下端至截面上边的距离与h₀的比值，δ₂h₀为型钢腹板下端至截面上边的距离。型钢混凝土偏心受压框架柱和转换柱的正截面受压承载力计算，应考虑轴向压力在偏心方向存在的附加偏心距e_a，其值宜取20mm和偏心方向截面尺寸的1/30两者中的较大值；h_w为型钢腹板高度；β_c为混凝土强度影响系数，当混凝土强度等级不超过C50时，取β_c＝1.0，当混凝土强度等级为C80时，取为β_c＝0.8，其间按线性内插法确定；f_yv为箍筋的抗拉强度设计值；A_sv为配置在同一截面内箍筋各肢的全部截面面积；s为沿构件长度方向上箍筋的间距；λ为柱的计算剪跨比，其值取上、下端较大弯矩设计值M与对应的剪力设计值V和柱截面有效高度h₀的比值，即M/(Vh₀)；当框架结构中框架柱的反弯点在柱层高范围内时，柱剪跨比也可采用1/2柱净高与柱截面有效高度h₀的比值；当λ＜1时，取λ＝1；当λ＞3时，取λ＝3；N为柱的轴向压力设计值；当N＞0.3f_cA_c时，取N＝0.3f_cA_c。上面的式子的长度单位均为毫米。

4 粒子群算法

仿生算法顾名思义是研究人员模仿大自然中的生物行为建立的算法。其中的代表性算法有模仿基因交换染色体行为的遗传算法以及模仿蚂蚁传递信息素的蚁群算法。粒子群算法作为近年来新兴的一种仿生算法，由Eberhart和Kennedy在1995年提出。它的起源是来自研究人员对鸟类捕食行为的观察。研究者注意到鸟群在寻觅食物时会时刻不停地交流自己的位置与食物的位置信息，这使得鸟群中的鸟具有向群体学习以及向自己过往寻找食物的经验学习的两种模式。Eberhart和Kennedy以此为基础，将鸟群简化为在计算机上模拟的粒子群体。这些粒子被抽象为位置坐标，而食物则被抽象为优化问题中的最优解，于是鸟群的觅食行为就被转化为粒子群体在计算机上寻找最优解的过程。

在粒子群算法中为了模仿鸟群的学习行为，研究者给出了迭代公式（4-1）和公式（4-2）。在公式（4-1）中粒子更新自己位置的方式主要是向群体中的曾经离“食物”（即最优解）最近的粒子P_gbest学习，以及向自己曾经离“食物”最近的位置P_ibest学习，于是参数c₁和参数c₂被命名为学习因子，一般将c₁、c₂取值为常数2。在设定好目标函数、群体粒子数量、最大迭代次数、搜索范围、最大速度v_max与最小速度v_min以后（本文设定v_max与v_min分别为搜索范围的正负百分之20），算法才能开始运行。群体首先在目标函数上取值（称为粒子的适应度），然后选择适应度最佳（一般取目标函数的最大值或者最小值）的粒子作为群体历史最优粒子P_gbest，注意此时每个粒子的个体历史最优位置P_ibest就是它们的初始位置。然后根据公式（4-1）更新群体中每个粒子的位移矢量（称为粒子的速度），当粒子的速度超出最大速度v_max或者最小速度v_min时，将粒子的速度变更为最大速度v_max或者最小速度v_min，再根据公式（4-2）更新每个粒子的位置，如果粒子的位置超出搜索范围则将粒子的位置更改为搜索范围的边界，群体的位置更新完成后再根据新的位置计算每个粒子在目标函数上的取值并选出适应度最佳的粒子，然后将这个适应度与上一代的群体历史最优粒子P_gbest的适应度比较，更优者为新的群体历史最优粒子P_gbest。每个粒子的适应度与这个粒子自己的上一代个体历史最优位置P_ibest的适应度比较，更优者成为新的个体历史最优粒子P_ibest。选出新的P_gbest和P_ibest后再按照公式（4-1）和公式（4-2）进行位置更新，接着再重复以上步骤直到达到最大迭代次数。

其中v(t+1,k)表示第k个粒子从第t代移动到第t+1代的矢量，x(t+1,k)表示第k个粒子在第t+1代的位置坐标，P_gbest(t)为在第t代的群体历史最优粒子，P_ibest(t,k)表示第k个粒子在第t代的个体历史最优位置，c₁与c₂为加速因子，rand为[0,1]中的随机数。

上面的步骤简化后就是粒子群算法的迭代流程：

a.设定目标函数，搜索范围与最大、最小速度，最大迭代次数，粒子群规模N。在搜索范围中随机生成粒子群；

b.将粒子代入目标函数中，选出群体历史最优P_gbest与个体历史最优P_ibest；

c.将每一个粒子坐标代入公式（4-1）和公式（4-2）中，若超出了速度范围则替换为速度边界,若粒子超出了边界则替换为边界坐标；

d.对移动后的粒子坐标评价适应度并更新P_gbest与P_ibest；若迭代次数t达到t_max则终止，否则返回步骤c。

5 型钢混凝土柱优化算例

假设有一个型钢混凝土框架柱，它的弯矩设计值为600Mpa，剪力设计值为1500KN，计算长度是3m，选择用HRB335级钢筋作为纵向受力钢筋，选择用 HPB300级钢筋作为箍筋；选择Q345级钢作为型钢的强度等级；选择C30级混凝土作为混凝土的强度等级。混凝土的价格为3.88×10^-4元/（mm²·m）,型钢的价格为2.9045×10^-2元/（mm²·m），纵向受力钢筋的价格为2.340×10^-2元/（mm²·m），箍筋的价格为2.106×10^-2元/（mm²·m）。

400×600	250×20×400×16	2×22	12@150	629.84
300×1000	200×18×600×8	4×22	8@250	426.64

通过粒子群算法找到的最优解和经过传统结构设计得到的解见上表2。从表中可以发现，经过粒子群算法的优化，成本从每米629.84元已经大幅下降到每米426.64元。下降的幅度为，这充分证明了粒子群算法的优越性以及结构优化设计的必要性。

6结论

型钢混凝土柱由于在抗震性能、耐久性能以及建造速度等方面的优势而在近些年被大量应用于大型建筑中。传统结构设计的盲目性比较大，对于构件的设计比较保守不能胜任优化任务。而粒子群算法作为一种新型的元启发式算法在被应用于土木工程领域优化设计的过程中展现了其上手容易、精度高、收敛快等优点。本文通过粒子群算法与传统结构设计在型钢混凝土柱的对比，发现柱的成本从优化前的每米637.52元经过优化下降到496.84元，下降幅度为，这充分证明了结构优化设计的必要性以及粒子群算法的优越性。

参考文献：

1. [1] 中国建筑科学研究院.组合结构设计规范: JGJ138-2016[S].北京:中国建筑工业出版社,2016.
2. [2] GB50010-2010.混凝土结构设计规范[S].北京:中国建筑工业出版社,2010.
3. [3] Kennedy J, Eberhart R. Particle swarm optimization [C]//Proceedings of ICNN'95-international conference on neural networks, IEEE.1995.