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一种基于标校的四站时频差定位算法
A Four-Station TDOA-FDOA Localization Algorithm Based a Reference Station
引言
无源定位技术因其自身不主动发射任何无线电信号，能耗低、隐蔽性好、生存力强，近几十年以来，广泛应用于通信、雷达、导航以及目标监测等领域，发挥着越来越重要的作用。在侦察领域，基于多小平台的高精度无源定位，如三星时差定位、四星时差定位和四星时差联合定位等在民用和军事领域都有着重要作用和广泛的应用前景。但是观测站位置存在误差会导致四站时频差定位效果恶化。本文主要给出基于四站时频差定位的基本原理，并推导出存在位置误差时的克拉美罗下界（CRLB）；为解决观测站位置误差的影响，提出基于标校的四站时频差定位方法和推导出对应的CRLB，证明所提方法在相同观测站位置误差时相对无标校站时定位效果更好，并通过仿真结果证明所提方法的优越性。
四站时频差定位
三维空间中目标的定位和测速中最基本的定位测速系统由四个观测站构成的测量系统。设观测站的位置为 ，对应的速度为 ， ，固定辐射源的空间位置为 。设目标辐射中心频率为 的信号，则辐射源目标信号传播到到第i个站的时间 为：
(1)
其中 表示电磁波的传播速度， 表示辐射源目标到第i个站的距离。对上式关于时间微分，可得到辐射源目标信号传播到到第i个站的时间变化率为：
(2)
表示矩阵的转置。多普勒频率 可以通过由 为第i个站的到达时间变化率表示， 。
由于通常发射信号是非合作的，不能直接得到目标辐射源到第i个观测站的到达时间 和多普勒频率 。选择第1个站的截获信号作为参考信号可以得到目标辐射源到参考站和到第i个观测站的到达时间差 和多普勒频率差 ：
(3)
(4)
是辐射源信号的波长。通过整理得观测矩阵 ，其中 ，。考虑，观测站存在位置误差，则该问题的对数似然函数为：
(5)
其中观测站位置 ， 表示测量的观测站位置， 表示观测的时差和频差， 表示观测的时差和频差误差矩阵， 表示观测站位置对应的位置误差矩阵。
基于标校的四站时频差定位
设存在标校站，其位置为 ，将到达第i个基站的标校信号的时差差分可得：
(6)
同理，将到达第i个基站的标校信号的频差差分可得：
(7)
通过整理得对应的测量矩阵为 ，其中 ，和 。则该问题的对数似然函数为：
(8)
其中 表示常数， 表示测量的观测站位置， 表示对标校站的测量时差和频差误差矩阵。
CRLB
时频差定位的CRLB
考虑位置误差存在时，时频差定位测量模型对应的定位CRLB：
(9)
其中，
(10)
由分块矩阵理论可知，当考虑存在观测站位置误差时，目标位置估计的CRLB为：
(11)
其中， 为观测站位置准确已知时目标的CRLB，而 为观测站位置信息存在随机误差时引起的目标位置CRLB的增量，且其为正定矩阵； 为观测站位置的误差协方差矩阵。由此可知，观测站存在位置误差会导致理论性能下降。
基于标校的四站时频差定位的CRLB
下面具体介绍存在标校站的四站时频差定位测量模型对应的定位CRLB：
(12)
其中，
(13)
对上式进行微分可得：
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
其中 表示为m行n列的全零矩阵， 的表示为m行n列的全1矩阵。
对比无标校站的协方差矩阵可知， 变为 ，当目标和标校站站距离越近，则基于标校站校正后的时频差定位算法对位置误差的校正效果更好，完全重合时，位置误差带来的影响完全被校正。即下式成立：
(32)
和式（11）类似，根据分块矩阵理论，对应的CRLB为：
(33)
其中 。由于 一定小于 ，则标校站的引入可到达减小观测站位置误差对定位误差的影响，对比两式可知，标校站距离目标越近，则由观测站位置误差导致的定位误差影响越小；标校站距离目标越远，标校站起到的作用越小。
仿真
定位精度可用推导的CRLB矩阵的表示，即：
(34)
其中 表示矩阵的迹。
仿真场景设置为四个观测站的位置和速度如表1。目标位置为（0千米,180千米，0千米）, 标校站位置为（-20千米,40千米，10千米）。时差误差10纳秒，频差测量误差0.1Hz。仿真分别得到位置误差500米和1000米时传统时频差定位和基于标校的时频差定位的GDOP图，如图1和图2所示。分析比较图1和图2可以发现，在相同位置误差条件下，基于标校的时频差定位的精度优于传统时频差定位；标校站距离目标越近，基于标校的时频差定位精度的改善尤为明显。符合前面推导。分析比较图1和图2可以发现，位置误差越大，则两种算法的定位误差也越大，说明所提算法只能减弱位置误差的影响，但不能消除影响。
| 观测站ID | 位置X（千米） | 位置Y（千米） | 位置Z（千米） | 速度VX（米/秒） | 速度VY（米/秒） | 速度VZ（米/秒） |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 5 | 100 | 100 | 100 |
| 2 | 5 | 5 | 8 | 200 | 100 | 100 |
| 3 | -5 | 5 | 12 | 200 | 300 | 100 |
| 4 | 0 | -7.7 | 7 | 100 | 100 | 400 |
观测站位置误差1000米两种方法的定位的GDOP图
结论
本文主要介绍了基于标校的四站时频差定位的基本原理，并从理论角度推导了分析了观测站位置误差对四站时频差定位的CRLB 精度的影响。针对四站定位应用场景，通过仿真、对比分析了观测站位置误差对传统四站时频差定位和所提方法定位精度的影响。仿真结果表明所提方法在存在观测站位置误差时，具有更高的定位精度。
参考文献：
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