引言

在历史上关于极限与无穷小量的争论叫作第二次数学危机，险些造成微积分学的崩塌。极限作为微积分的基础性概念，让牛顿和莱布尼茨都无法自圆其说，达朗贝尔和柯西都尝试定义极限，如柯西对极限的定义中就使用到了“要多小就有多小”，“变量趋近某个值”，并用希腊字母ε来表示任意小的正数。在此基础上，魏尔斯特拉斯完善了极限的定义，使用ε-δ语言定义函数的极限，使数学界开始普遍接受这种定义。本文要讨论的数列极限ε-N定义经过数学的发展是经得起千锤百炼的，但是带来的抽象性使得第一次接触这种极限定义方式的学生望而却步。在课程改革持续推进的背景下，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》首次将极限相关内容纳入选修课程体系，标志着高中数学教材在微积分知识铺垫方面迈出了关键一步。其中，人教A版配套的选修A类（数理类课程）与选修B类（经济、社会及部分理工类课程）教材均设置了微积分模块，为不同专业取向的学生提供了差异化的衔接路径。这一变革为弥合初高等数学之间的知识鸿沟提供了制度性保障，但其实际效果如何，仍有待深入审视。基于上述认识，本文聚焦于数列极限定义在初高等数学教材中的呈现方式与衔接逻辑，以人教A版高中数学选修教材与大学阶段主流使用的同济版《高等数学》、华东师大版《数学分析》为分析对象，系统比较两类教材在极限语言引入方式上的异同，评估新课标教材在降低认知门槛、搭建过渡桥梁方面的实际成效，并据此提出具有可操作性的教学建议，以期为数学教育的一体化改革提供参考。

一、教材信息

现在大多高校开设高等数学课程主要使用的教材是同济版的《高等数学》和华东师大版的《数学分析》，两本教材中，《高等数学》主要面向非数学类的理工科学生，《数学分析》主要面向数学类的学生。同济高等数学把极限的学习安排在了第一章，华东师大数学分析则在第一章安排了实数集合函数之后，在第二章也立即安排了极限，所以，对于学生学习高等数学，面临的第一个困难的抽象概念就是极限的定义。现在同济版的《高等数学》已经更新到了2023年的第八版（第一版于1978年印刷，上一版第七版则是2014年开始印刷）。华东师大版的《数学分析》已经更新到了2019年的第五版（第一版于1981年开始印刷，上一版第四版则是2010年开始印刷）。最新两个版本的高等数学教材如图1所示。

即使两本高等数学教材进行了版本的迭代，但是都没有对数列极限的定义进行过修改，都是采用了ε-N对数列极限进行定义。由于两本高等数学教材都把数列极限作为极限学习中的第一个知识，而数列极限使用的是ε-N语言进行定义，之后学生才会学习到使用ε-δ定义函数极限，定义函数连续。可以说，这个抽象的ε-N定义决定着学生是否能够理解和学好后续知识的开端。所以，本文主要针对数列极限定义进行研究，而不探讨相关的极限思想，如导数，等发散知识。

根据2024年教育部发布的公报，中国高等教育的毛入学率已达到60.2%，这一数据表明，越来越多的学生在高中阶段接触到初等数学知识，成为其进一步学习高等数学的基础。基于维果茨基的最近发展区理论，学生在学习更高级的知识时，需要在已有的知识基础上进行发展，从而进入其最近发展区，以促进其认知能力的提升。然而，人教高中数学实验版教材中并未对极限语言进行详细阐述，这导致了当时相当一部分学生在学习高等数学时遇到理解障碍。随着新课程标准的实施，最新版的人教A版高中数学教材将极限部分的内容纳入选修模块，这一设计相较于旧版教材具有重要突破。本文将从新人教A版选修教材入手，探讨其在数学极限概念的教学中是否有效缩小了初高等数学之间的知识差距，并结合研究结果提出相应的教学与学习策略。

二、课程标准关于极限的介绍

数学抽象是新课标所包含的学科核心素养之一，数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。而极限的定义正是通过数学抽象出来的，形成了严谨、简洁的命题。新课标把高中数学课程分为必修课程、选择性必修课程和选修课程，其中选修课程又分为A、B、C、D和E共五类，如表1所示。

课程分类	课程内容
A类	数理类课程
B类	经济、社会、部分理工类课程
C类	人文类课程
D类	体育、艺术类课程
E类	拓展、生活、地方、大学先修类课程

其中人教A版根据新课标一共出版了A、B、C和D四类选修教材，本文研究的极限内容位于选修A类微积分以及选修B类微积分，如图2所示。由于两类课程面向不同的专业学生，所以在极限定义做出了不同的处理，以满足后续高等数学教材中《高等数学》和《数学分析》的衔接。

三、新旧人教高中课本对于极限的介绍

（一）实验版高中教材

实验版的人教教材中并没有对极限进行专门的说明，只是在选修1-1和选修2-2的导数章节中使用了极限的思想引入导数，不在此研究范围。

（二）人教A版选修A类（数理类课程）

人教A版选修A类微积分对于数列极限定义为：

对于数列{a_n}，如果存在实数a，使得，，当时，有，则称数列{a_n}收敛到a，或者称a为数列{a_n}的极限，表示为

对此，教材采用了两个例题由特殊到一般的方式解释ε-N中的ε与N。

例题1中，通过讨论，考察当n无限大时，借助数轴，利用a_n与0的差的绝对值来度量a_n与0之间的距离。通过4组特殊值的计算，进行类比。

对数列{}来说，通过计算可以得到：

……

一般地，，总可以找到一个，使得时，成立。

例题2中设置了一个交错数列，，也同样采取了例题1中由四组特殊值计算，通过类比得到特殊到一般的结论。

通过两道例题，学生可以很清晰地从例题对照出定义中的，0.01，0.001，0.0001；，100，1000，10000，从而从代数形式上总结出由ε-N定义中几个变量之间的依赖关系、动静关系和先后关系。其实，ε-N定义就是在用一个凝练、抽象、精确的语言来表达通俗语言“如果数列的极限存在，那么数列的某一项之后的所有项都与极限值无限的接近，要多近有多近”。ε-N定义中的N正是用于刻画“某一项之后”中的项数，而ε则是用于刻画“要多近则有多近”。即，随便给出一个确定的数ε，总能找到比ε还要小的数。

ε-N定义中的先后关系是指，先确定ε的值作为一个刻画距离的参照量，之后便能确定数列第N项之后的项与极限值的距离都小于ε。依赖关系是指，N的取值依赖于所选定的距离参照量ε，所以部分教材也会用来表示N与ε之间的依赖关系。动静关系是指，确定一个参照量，总能找到对应无穷多的数列第N₁+1项，第N₁+2项，第…项满足与极限值的最小距离于参照量；同理，确定也会有N₂+1，N₂+2，…，以此形成先静后动的双变量关系。正是ε-N带来的抽象关系给数列极限的定义带来了精确性，同时，也给学生的理解带来了困难。

教材接下来通过数形结合帮助学生理解ε-N定义，如图3所示

如果数列{a_n}收敛到a，那么可以在数轴上构建以a为中心，长度为的区间，无论这个区间多么小，都必然存在正整数N，使得当时，所有项a_n都属于这个区间，即。这就是数列收敛的几何解释。

这样，学生便由特殊到一般，由代数到几何，由静态到动态，从多个维度理解了ε-N的数列极限定义。

（三）人教A版选修B类（经济、社会、部分理工类课程）

人教A版选修B类微积分对于数列极限定义为：

对于数列{a_n}，若当n无限增大时，a_n与常数a距离无限接近于0，即，则称数列{a_n}存在极限，且极限是a，（或称数列{a_n}收敛，且收敛于a），表示为

很明显，选修B类（经济、社会、部分理工类课程）并未采用ε-N语言来描述数列的定义，主要是因为编者考虑到此类课程面向的专业不同，采用描述性定义。选修B类主要面向于经济、社会、部分理工类课程，此类专业的学生主要是选择同济版的《高等数学》作为教材，而此教材在进行数列极限定义时也是选择ε-N语言作为定义。这就意味着，同济版《高等数学》在正式以ε-N语言下定义前，应当像人教A版选修A类教材所做的安排一样，先从特殊到一般的方式处理极限概念的引入，再进行严谨的定义，并结合数形思想进行理解。只有这样，才能形成一个连贯且系统的知识学习链条，符合学生的最近发展区理论。如果没有这种教学安排，初高等数学中关于数列极限的定义可能会存在割裂性，导致学生理解上的困难。接下来，本文将对两本高等数学教材中数列极限定义部分进行简要分析，以评估初高等数学教材在极限语言过渡过程中的流畅性。

四、大学对于极限的引入

（一）华东师大版《数学分析》

华东师大版的《数学分析》面对的是选择数理类专业的学生，对于数列极限的定义采用ε-N语言，在定义之前只用了一个十分简单的例题数列{}无限接近0来说明极限的特性：“随着n的无限增大，无限接近某一常数a”。显然，如果学生未曾接触过ε-N语言，当前的内容安排将导致知识之间产生巨大跳跃。这种显著的知识断层不仅会削弱学生对学习的信心，还可能对学生的自我效能感产生负面影响。

为了弥补初高等数学知识之间的跳跃，解决这一问题的关键在于高等教育之前——即初等教育阶段的教材安排。教材作为课程实施的三大文本之一，具有不可忽视的重要性。它不仅因其权威性和经典性而被广泛认可，而且是大部分高中生接触到的首要学习资源，能够有效避开网络中复杂且海量的信息，提供可信可靠的学习内容。在前文的分析中，本文对依据新课程标准编写的人教A版选修A类教材进行了研究，这一教材面向数理类学生，并在数列极限的ε-N语言定义正式使用之前，采用了由特殊到一般的归纳思想，通过两组例题引导学生理解，并借助数轴的图示将抽象的极限概念直观化。通过较为详细的篇幅介绍，这一教材顺利完成了与华东师大《数学分析》数列极限部分的衔接工作。

（二）同济版《高等数学》

同济版《高等数学》面对的是选择经济、社会、部分理工类专业的学生，对于数列极限的定义采用ε-N语言，对应的，他的初等数学衔接教材应该是人教A版选修B类。在前文对于人教A版选修B类教材分析中得到，该教材并未采用ε-N语言给数列极限下定义，而是采用更为模糊化的描述性方式给数列极限下定义，虽能够让学生更容易接受此类概念，但是无法精确描述“无限接近”这样的用语，更重要的是无法给《高等数学》中ε-N语言起到一个知识铺垫的作用。对此，《高等数学》在正式定义数列极限之前，采用了人教A版选修A类中同样的处理方式，从多个特殊的数列推广到一般的数列，采用数形结合的方式帮助学生理解ε-N语言中的双变量关系。把人教A版选修B类微积分和同济版《高等代数》当成一个整体，关于初高等数学的知识过渡是流畅的，而不是分割的。

五、新课改的课程编排带来的教学建议

高等教育所使用的高等数学知识抽象，对知识的描述力求凝练精确，对例题的选择和解答力求经典，对比高中教材省略了很多尝试性的探索，高等数学教材编写要求编者专业知识能力突出，一般主要由某个高校的数学系团队进行编辑，且教材的版本更迭对内容上的处理较少。在教育部的新课标指导之下，各个版本的高中教材都按照指导性文件进行教材编排，对比旧版本的实验版人教高中数学教材和如今新课标下的人教A版高中数学教材，无论在结构还是在内容上都发生了巨大的变化，参与编写的团队是中学数学课程教材研究开发中心，开发团队规模大，专业领域广。从图书的开本、插图、颜色设计、内容的结构安排都经过精心安排，符合新课改下由“教育者为中心”转向“学习者为中心”；由“教会学生知识”转向“教会学生学习”；由“重结论轻结论”转向“重结论更重过程”；从“关注学科”转向“关注人”的科学转变。

综上所述，为了实现初高等数学的平稳过渡，新课标编订的选修A类和选修B类教材为《数学分析》和《高等数学》奠定了基础与人教实验版高中数学教材相比，新编教材在极限语言的铺垫上做了充分的设计，符合泰勒课程编制原理，并考虑到学生的学习心理和发展规律，使两个不同编写团队的教材得以顺畅衔接。当前的高等数学教材在组织性方面相较初等数学教材较为局限，主要集中在高等数学的内容编排上，缺乏与初等数学的衔接。因此，现有的解决方案仍以高等数学教材为基础，改革高中教材以适应大学教材的要求。未来，初高等数学教材之间的互通性值得关注，建议从两端进行沟通与衔接，并依赖政策和组织支持推动这一进程。

在教学策略方面，当前的普通高中教育仍然存在过度强调升学率的现象，非高考内容往往被忽视，尤其是选修课本，许多学生未曾接触过这些内容。教师不应高估学生的自主学习能力，尤其是在高等数学学习之前，学生的先前知识准备可能不足，导致他们在进入高等院校后面临学习挫折。首先，教师应当向学生介绍选修课本的存在，让他们了解这类教材的权威性和适用性，为学生提供有价值的参考文献。其次，由于高等数学教材的编写要求较高，改革现有高等数学教材仍面临一定的挑战。高等院校的教师在开设高等数学课程时，应充分考虑学生的已有知识基础，设计相关的阅读任务，帮助学生顺利过渡到更为抽象的数学学习阶段。最后，未来的课改要更注重数学与生活、数学与其他学科之间的融合。

六、结语

本文提出初高等数学衔接不应是高中向大学的“单向靠拢”，而应是课程理念、教材编写与教学实践三方面的“双向协同”。在教材层面，建议高等数学教材在未来修订时适当增加对中学课改成果的回应，如增设“预备知识”模块或引入更具启发性的导入案例；在教学层面，建议大学教师充分了解学生已有的知识基础，主动设计衔接性阅读任务，帮助学生从描述性理解平稳过渡到形式化表达；在政策层面，建议教育主管部门搭建中学数学教材编写团队与高校数学教学团队之间的常态化交流平台，从顶层设计上保障衔接工作的可持续推进。数学教育的本质在于培养学生理性思维与问题解决能力，而非将知识割裂为“中学的”与“大学的”两个孤立阶段。唯有从学生认知发展的整体性出发，打破学段壁垒，构建连贯、开放且富有弹性的数学课程衔接体系，方能真正实现数学教育的育人价值，为学生的终身学习与全面发展提供有力支撑。

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