引言

三角形的高作为初中几何教学的重要组成部分，不仅是三角形面积计算的基础，更是学生进一步拓展几何知识版图的关键。然而，实际的课堂教学普遍反映出学生对高的理解存在诸多认知障碍和误区，教学成效难以达到预期目标。鉴于此，本文通过深入分析教师在高教学设计中的典型问题，基于具身认知理论探索切实可行的教学策略，助力学生突破认知障碍，达成对三角形高的深入理解。

一、三角形的高教学设计常见问题

（一）高的定义剖析不深入

根据皮亚杰的认知发展阶段理论，6至12岁儿童的认知水平处于具体运算阶段，此阶段儿童的抽象思维有所发展，但进行运算时仍离不开具体事物的支持。尤其是对于低学段的学生，他们往往会不自觉的通过自己的身体来思考，通过拟人化、融情与物等方式把不熟悉的事物具体化和熟悉化。因此，对于三角形的高，学生受限于生活经验中如身高、楼高等竖直方向高的概念，误认为三角形的高仅为竖直方向的那条垂线。很多教师在教学中没有意识到，当三角形发生旋转或位置变化时，学生无法灵活调整认知，难以识别三角形在非常规位置下的高，因此导致学生对高的定义理解片面且僵化。

（二）找高的方法单一、机械

教师在教学过程中多采用程式化的步骤引导学生找高，即直接定位顶点、对边后作垂线，却未给予学生充分的自主探索空间。具身认知理论强调，认知是身体与环境的交互耦合的过程，通过丰富的教学材料和贴近现实的教学情境设计给予学生感官和知觉上的冲击，儿童通过感受与体验，才能在情境中累积自身的知识经验与认知图式。因此学生在缺乏深度体验的情况下，难以领悟找高方法背后的几何原理，致使在面对形态各异的三角形时，无法自主且灵活地运用所学方法确定高，思维固化于单一模式。

（三）画高的细节未予清晰阐释

在画高教学中，教师往往着重强调虚线绘高、标记垂足等硬性要求，但缺乏具有说服力的解释。比如，教师未能向学生明确解释为何要使用虚线绘制三角形的高，未分析实线绘高可能导致的图形混淆及对三角形结构的干扰；同时，教师对垂足这一关键几何概念的讲解不透彻，使得学生对垂足的位置判定及作用认知模糊，从而影响高绘制的精准性与规范性。

（四）缺乏对高数量的认知引导

对于三角形高的数量判定，教师往往缺乏有效的引导策略，未能针对学生可能出现的多元答案展开深入剖析与针对性纠正。学生可能因为对高的定义、三角形顶点与边的对应关系理解不透彻等而无法准确判定三角形高的数量，对高的数量属性认知存在盲区，因此教师应采取必要的措施进行引导。

（五）教学环节设计零散、缺乏整体性

当前三角形高的教学多呈现出零散、碎片化的特点，教学环节设置缺乏整体性、连贯性，各环节独立存在，缺少关联。同时，教师未能充分挖掘不同类型三角形高之间的联系，未能引导学生进行对比观察和探索，忽视了《义务教育数学课程标准（2022年版）》中强调的“会用数学的眼光观察现实世界”的核心素养目标以及学生探究能力的培养。

二、教学设计策略

（一）引入：利用高的有无，初步感知高

盖伊·布鲁索（Guy Brousseau）指出认识论障碍是“一种知识在某一活动领域内可以正常发挥其功能，且因具备良好基础而表现出色，但在另一种情境下却丧失了令人满意的效用，呈现出失灵或错误的状态，从而导致理解出现偏差”。他认为认识论障碍是一种具有范围性的知识，在特定情境下有效，但如果不考虑其适用范围而在其他情境下应用，则会导致误解或错误。比如在观察三角形的高时，细长的三角形符合学生对高的直观认知，因为其高度特征显著；而当三角形高度大幅缩减、形态与常规认知产生强烈反差时，学生对后者是否具备高度的判断出现分歧。

基于此，教师可以创设对比情境，引导学生启动思维引擎。教师首先可以引导学生回顾生活中的高现象，如身高、大树、高楼等，再迁移至三角形，抛出问题：“观察所给定的两个三角形是否都有高？”要求学生基于已有认知思考三角形高的可能存在形式，激发学生产生认知冲突，以此为后续教学活动奠定认知基础。

师：我们之前学过高，什么东西有高？

生：大树、高楼、人……都有高。

师：怎么测高的具体数值？比如身高如何测量？

生：用尺子或身高检测仪，站直测头顶到脚底的距离。

师：请你观察这两个三角形都有高吗？（出示图1）

生1：第一个有，第二个没有。

生2：两个都有。

师：有的同学认为二者都有高，有的同学认为只有第一个有高。接下来请你思考，如果你认为这个三角形有高，能不能找到它的高在哪儿呢？

（二）找高：探索体验，逐步定义高

具身认知视角下的课堂强调提高学生身体的参与度，将课堂交还学生，完成“机械接受学习”向“主动探究学习”的转变，体现“生本”教学生态。教学是师生交流分享的过程，教学过程是平等开放的。因此，教师应设计“以生为本”的活动，如折纸、三角板平移找高，尊重学生的主体地位。

1.活动一：折纸找高

教师为学生提供三角形纸张，布置折纸任务，要求通过折叠操作将三角形纸的高呈现出来。学生凭借空间直觉，过三角形顶点沿对边折叠，折成直角三角形后再展开。教师引导学生观察折痕特征，使学生意识到折痕为顶点至对边的垂直连线即三角形的高，由此初步勾勒高的轮廓，为定义的提炼积累直观经验。

师：这两个三角形到底有没有高呢？接下来我们就找一找。首先请你利用折纸的方法，将三角形纸的高折出来。

学生可以过三角形纸的一个顶点并沿着它的对边折叠，直到折出来一个直角三角形，再打开（如图2）。

师：两个三角形是不是都能用这种方法进行操作？观察折痕，你发现了什么？

生：两个三角形都能这样折叠，折痕就是三角形的高（如图3）。

2.活动二：直角三角板平移找高

随着具身认知理论的兴起，Lakoff和Johnson于1999年提出概念隐喻理论(CMT)，认为人们借助一些简单具体的概念 (被称作为始源域)来表征复杂抽象的概念 (被称为目标域)，从而形成抽象思维。隐喻的本质就是人们利用熟悉、具体的经验去构造陌生、抽象的概念。因此，对于三角形的高的测量，可以类比人体身高测量的要求设计活动。教师引导学生运用直角三角板定位三角形的高，提醒学生直角三角板的一条直角边必须与底边贴合再移动，就像测身高时零刻度线对准脚底。同时类比人体身高测量要求，阐释从顶点至对边全程垂直的测量规范，还要避免仅测量部分距离的错误操作。可以把三角形看作一个小山，测高不能只测量到“半山腰”，就像人量身高不能只量到“肩膀”。学生在规范操作与深度思考的协同作用下，进一步夯实对高的定义要素的把握，强化对高的几何属性认知。

师：请你利用直角三角板将三角形纸的高找出来，并标记高。

教师需要提醒学生三角板的一条直角边要与底边重合，并且不能只量到“半山腰”，就像人量身高不能只量到“肩膀”（如图4）。

师：通过以上活动，请你总结三角形的高的定义。

生：顶点到它对边的垂线即为三角形的高。

师：顶点到对边的垂线就像我们之前讲过的“点到直线的距离。”三角形的高实际上就是顶点到对边的距离。

3.活动三：“变与不变”

《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调：学生认识平移、旋转、轴对称的特征，体会运动前后图形的变与不变，感受数学美，逐步形成空间观念和几何直观。因此教师可以对三角形实施旋转操作，引导学生探索图形旋转的变与不变，考察学生能否在不同情境下准确定位三角形的高。教师要注意，面对三角形位置变化引发的高形态变化，学生观点可能会出现分化。这时教师需要抓住争议焦点, 回归三角形的高的定义的本质，帮助学生分辨数学领域中三角形高的判定与实际生活中测量人身高的不同：三角形的高是顶点到对边也就是到对应的底的距离，而不仅仅局限于竖直方向上顶点到水平“地面”的距离。教师要厘清学生认知障碍，促使学生深入理解高的核心要义。三角形在旋转后，变化的是形态，而不变的是高的判断标准。

师：将三角形旋转，你能不能找到它的高？

生：过上方顶点做对边的垂线，垂线即为高（如图5）。

师：我们看到，刚才竖直的那条高现在“倒”下来了，那它还是不是三角形的高？

生1：不是，因为它不是竖直方向的高。

生2：是，因为它也是顶点到对边作垂线，是点到直线的距离。

教师可以安排学生讨论，提醒学生可尝试利用高的定义帮助解决。

师：我们之前说，三角形的高是顶点到对边作的垂线。现在虽然看到刚才那条高“倒”下了，但它仍然是顶点到对边的垂线，是点到直线的距离，所以它仍然是三角形的高。因此，数学中三角形的高和日常生活中人的身高是不一样的，每个顶点都有它的对边，即其对应的底，旋转后并未改变顶点与底之间的关系，判断三角形的高不能只看竖直方向。

（三）数高：发散讨论，深度理解高

在前一部分的“找高”活动后，学生已了解三角形高的定义的关键点，能够找出不止一条三角形的高。基于此，教师可下达任务指令，要求学生判断给定锐角三角形的高的数量，对其产生的不同答案展开收集，针对学生呈现出的多元答案，教师需要逐一剖析。

师：请判断这个三角形共有几条高？（出示图6）

教师收集学生答案中的易错点并逐一分析。

若学生判定为一或两条，可能因为在寻找三角形顶点、对边时出现疏漏，教师需要提醒学生应细心、全面地看待和分析问题，同时要再次帮助其明确三角形的高的定义（图7）；若学生判定为三条但不能准确画出高线出现如图所示的情况，教师此时需要再次利用三角形的高的定义，结合“点到直线的距离”进行巩固复习，强调作“垂线”的关键点。

若学生判定为无数条，可能因误将三角形两侧边上的任意点作垂线视为高（如图8），忽视了高起始于顶点这一关键属性，相当于前一部分利用直角三角板只量到了三角形的“半山腰”。

但出现无数条高的情况可能还有以下原因：

在测量身高读数时，通常要经过头顶最高点作平行线延伸到刻度尺再读数，即作身高所在高度的平行线进行读数。将此方法迁移至三角形，过顶点做底边的平行线，再过底边一顶点作平行线的垂线，这样也可以画出和三角形竖直方向的高相等的垂线。同时，该垂线的平行线均与三角形竖直方向的高平行且相等（如图9）。但这些线段是否都可以称为三角形的高？

皮亚杰在《结构主义》中指出:“形式与内容具有相对性,事实上不存在只有形式的形式,也不存在只有内容自身的内容,每个成分都同时起到对于被它所统属的内容而言是形式而对于比它高一级的形式而言又是内容的作用。”而相对性眼光具有有悖常规的“变通性”、与众不同的“差异性”与灵活多样的“可能性”等特征，表现为观察方式与结果的多元化，因此也就具有了针对多种可能进行归属与排除的“选择性”。利用相对性眼光可以对这种想法做出解释。

常规意义上，如果三角形的“底”与水平方向的地面平行，它的高则是过上方顶点作“底”的垂线，方向垂直于地面。如果利用相对性眼光，变更观察方式，将图中底边的平行线看作底边顶点的“底”，过下方顶点作平行线的垂线即为“高”。但需要意识到，此时的“底”是人为构造出来的平行线，并不属于三角形的某个部分，因此利用平行线作出来的“高”实际上也不属于三角形的某一部分，只是与三角形竖直方向的高平行且相等的线段，不可以称之为三角形的高。因此，也并不会出现无数条三角形的高。

教师针对上述情况，要运用严谨的逻辑推理与详实的几何例证，引导学生逐一对比、分析，最终达成三角形有且仅有三条高的共识，深化学生对高的数量属性的理性认知。

（四）画高：巩固训练，规范画出高

1.活动一：画出锐角三角形的高

师：请你画出这个锐角三角形的所有高（出示图10）。

教师着重强调画高规范，画高时要准确找到顶点和对边，同时要使用虚线、标记垂足。但此时学生可能会对使用虚线、标记垂足的要求产生疑问，教师需要对这两方面进行解释。教师可从虚线使用的必要性切入，解释虚线绘高的优点以及实线绘高可能带来的不良影响。同时，依据具身认知理论，阐释垂足、垂线的内涵，使学生明晰标记垂足的意义。学生在遵循规范的操作实践中，熟练掌握锐角三角形高的绘制技法，强化画高技能。

（1）利用虚线画高的原因

三角形的高为顶点到它的对边的垂线，是一条线段。线段(segment)，技术制图中的一般规定术语，是指一个或一个以上不同线素组成一段连续的或不连续的图线，可以是实线，也可以是虚线。教师在教学中应让学生意识到用虚线是为了和三角形三条边进行区分，且不会对三角形做分割。三角形的高是客观存在的，与是否标记出来无关，用虚线标记只是相当于画了一条“辅助线”，方便观察。而用实线画高，易与三角形的边混淆，同时可能对三角形造成分割，破坏原三角形的结构。

（2）垂足的定义

在概念隐喻理论中，抽象概念的形成源于对具体概念的感知觉体验，认为隐喻不仅仅是语言层面上的一种修辞手法，同时也是一种存在于对世界的感知和思考的通用的认知机制。在汉语中，“垂”作动词时，可意为挂下、落下，同英文中的hang、fall，均有从上往下的动作方向。在三角形中，高对应的“垂线”就可以理解为：以底边为参照，由顶点向下引出来的线段。而“足”字，即脚，可引申指器物下部用来支撑的部分。所以“垂”“足”连起来就可以理解为一条方向向下的线的下方支撑部分。因此教师也可以运用字义分析或引入适当比喻对学生进行引导和讲解。

2.活动二：画出直角三角形、钝角三角形的高

教师安排任务，要求绘出直角三角形各高，学生经操作发现两条直角边即为高，只有斜边对应高需单独绘制。教师顺势引导学生依据高的定义分析两条直角边其实是与直角三角形的高发生了重合，所以直接标记垂足即可，强化学生对高定义的灵活运用能力。

师：请你画出直角三角形的高。

学生标记出两条直角边，画出了斜边的高（图11）。

师：为什么两条直角边就是两条高？

生：根据高的定义，顶点到对边作垂线，垂线刚好和直角三角形的直角边重合。

而学生初次绘制钝角三角形的高时，往往仅能绘出最长边对应的高。为突破学生绘制钝角三角形外部高的思维瓶颈，教师需要引导学生分析难以画出高的原因，进而寻找解决问题的方法，完善学生对钝角三角形高的认知。

师：你能画出钝角三角形的几条高？

学生此时可能只能准确画出钝角三角形最长边对应的高（图12）。

师：我们刚才可以画出锐角三角形、直角三角形的三条高，那么钝角三角形的高是否有三条呢？为什么大家觉得难画了？

生：因为有两个顶点的对边太短了。

师：那对边太短可不可以想办法延长？

学生将对边利用辅助线延长后作出对应的高（图13）。

（五）用高：拓展延伸，整体掌握高

美国认知语言学教授伦纳德·泰尔米（Leonard Talmy）提出的“虚拟运动”（Fictive Motion)强调用动态的表达即运动动词来描述静态的场景，这是一种心理模拟。在这种情况下，输入大脑中的概念本没有运动，但这些概念被整合成了虚拟运动的场景。在小学“图形的运动”的学习中，如果关注运动后的状态，借运动来呈现静止的状态，这就可以理解为虚拟运动。运动的眼光可以帮助儿童认识基本几何图形，教师可以将其运用到三角形的高的教学中。

在前一部分画钝角三角形的高的过程中，学生对“形外高”产生了困惑。因此在接下来的教学过程中，教师可以进一步引导学生通过在方格纸中寻找与锐角三角形同底等高的直角三角形和钝角三角形，以运动的眼光观察三个三角形的“变与不变”，将三类三角形统一到一个系统中，整体把握、深刻理解三类三角形的高以及钝角三角形的“形外高”。

师：请你先在方格纸上画出一个锐角三角形，其次画出与它在竖直方向上同底等高的直角三角形和钝角三角形，使得三个三角形底边重合（图14）。

师：观察三个三角形的关系，我们可以将直角三角形和钝角三角形看作是由锐角三角形变化而来的。请你说一说锐角三角形转变成直角三角形和钝角三角形的过程中，它的三条边和三个点谁变了谁没变？

生1：三角形下方的底边没变，其他两条边变了。

生2：三角形下方的两个点没变，上方顶点的位置变了。

师：那三条高是如何变化的？

生：高随着上方顶点发生了平移。

师：所以，我们可以用这种运动的眼光，将直角三角形、钝角三角形看作是与其同底等高的锐角三角形的顶点移动变化而来的，而高也随着顶点从锐角三角形的内部，平移到了直角三角形的直角边上以及钝角三角形的外部。在三角形内部的高称为“形内高”，那么对于钝角三角形的外部高，可以叫做“形外高”。

三、结语

本教学设计针对教师在三角形的高教学设计中的现存问题，经过引入、找高、数高、画高直至用高等层层递进的教学环节，为学生搭建起系统的知识架构，使其逐步分析三角形高的几何本质，熟练掌握找高与画高的实践技能，准确判定三角形高数量、理解三角形高的定义。更为关键的是，依据具身认知等相关理论，通过理论与实际应用的深度融合，唤醒学生对三角形高知识的现实敏感度，激发学生几何学习的热情，全方位提升学生的数学思维品质与问题解决效能。在后续教学实践中，教师可依据学生的学情差异，对本教学设计进行弹性调整与优化，以实现教学效益的最大化。

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