引言

随着数学课程改革的不断深化，高中数学教育越来越重视学生核心素养的培养。导数是高中数学知识体系中的重要内容，在高中阶段，导数的工具性十分明显，为揭示函数变化规律、解决实际应用问题提供了强大的方法和手段，是近几年来高考命题的热点。此外，导数的学习是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的重要载体。导数这一概念的抽象程度较高，学生在学习过程中往往很难理解其本质。在导数的教学过程中，容易出现重“工具性”，轻“思想性”的问题，过于重视解题技能的训练，强调公式的记忆，弱化了导数的核心思想。数学学习是一个循序渐进的过程，每一阶段的学习者都有着不同的知识理解力和解决问题的能力。因此，教学过程的设置应该基于学生已有的认知水平和思维发展水平，由浅入深，呈阶梯式的发展。学习进阶理论为学生核心素养的培育提供了崭新视角与有效框架。在此背景下，本文将聚焦于高中导数教学路径，基于学习进阶视域，深度探寻高中数学导数单元的教学路径，旨在为高中导数教学提供有益参考，助力学生数学核心素养的全方位提升。

通过学习进阶分析，教师可以更清晰地了解学生在导数学习过程中不同阶段的能力水平和认知特点，从而有针对性地设计教学活动，优化教学策略。同时，基于学习进阶的教学能够帮助学生更好地构建知识体系，将导数知识与其他数学知识有机联系起来，形成一个完整的知识网络。这不仅有助于学生对导数知识的深入理解和掌握，更能够提升他们运用所学知识解决复杂问题的能力，为学生的未来学习和发展奠定坚实的基础。

一、相关概念阐述

（一）学习进阶理论内涵

“进阶”意味着从新手到专家、从简单认识到深度理解的思维发展。学习进阶强调学习是一个分阶段、循序渐进的过程，在这个过程中，学生的知识理解和思维能力都会逐步发展。它关注学生在学习过程中的阶段性表现，以及如何通过有效的教学干预，帮助学生跨越不同的学习阶段，实现对知识的深度理解和掌握。

学习进阶之“阶”可以分为起步之阶、进步之阶和目标之阶三个层次。起步之阶是学生进入课堂学习前已经具备的水平，通常表现为对先前知识的理解。进步之阶是学生由先前掌握的知识到期望掌握的目标知识的过渡阶段，在此阶段中，也可搭建适当的“台阶”实现学生由浅入深、由简到繁、由低阶到高阶的转变。目标之阶是指学生经过长时间的学习期望达到的目标水平，在教学中通常体现在解决问题的能力及学科素养的达成。

（二）单元教学

单元教学是以学科核心素养为导向，按照课程标准的内容要求，围绕一个明确的主题或者大概念，将多个相关的知识关联起来形成一个整体，强调知识间的整体逻辑，以促进学生对知识的整体把握和结构性理解。单元教学能够加强学生对知识的深度理解、培养系统思维和知识迁移的能力，有利于学科核心素养的达成。

二、高中数学导数单元学习进阶研究

（一）课程标准分析

为构建一元函数的导数及其应用的学习进阶模型，首先对普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》（以下简称为“高中新课标”）中的一元函数的导数及其应用的相关内容进行解读。一方面，高中新课标明确了教育目标，规定在导数单元中对学生数学学科核心素养的培育，为教学明确重点和指明方向。另一方面，高中新课标中指出在不同阶段对每个知识点需要达到的理解程度和要求，这也为学习进阶模型的层级划分提供了依据。基于以上两点，有效利用高中新课标对一元函数的导数及其应用的学习进阶模型构建有很大帮助。

高中新课标中指出导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想。本单元主要内容包括：导数概念及其意义、导数运算、导数在研究函数中的应用。在高中新课标中，对于本章节具有以下学业要求:通过丰富的实际背景和具体的实例，引导学生感悟由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，从而理解导数的概念，感悟极限的思想，并能理解导数的几何意义，知道极限思想是人类深刻认识并表达现实世界必备的思维品质；在此基础上能根据导数的定义求一些基本函数的导数，掌握导数的四则基本运算法则，能求简单函数和简单复合函数的导数；运用导数来研究函数的性质，解决现实生活中简单的问题。

（二）教材分析

教材是学生学习过程中最直接、最基础的工具，是不可或缺的核心资源，教材为学生提供了知识和大量情境化案例，直接有效的帮助学生理解和掌握知识。同时教材知识及例题的编排也潜移默化的影响着学生的思维，因此明确教材中的学业内容对学习进阶模型的构建具有重要影响。本文以高中数学人教A版的一元函数的导数及其应用单元为例，开展导数学习进阶模型的构建研究。该单元的主要内容见图1。

（三）学生认知分析

一元函数的导数及其应用的单元包含了导数的概念理解、运算、应用等内容，是一个较为庞大的内容体系，学生对导数的认知发展是一个从具体操作感知到抽象符号理解，再到概念对象建构，最终实现图式整合的渐进过程。作为高中知识体系中的重要内容，在初中阶段未接触过导数的知识，学生的认知发展需在高中阶段完成从“零基础”到“综合应用”的跨越，这一过程既依赖于初中数学的已有经验，又需突破初中的认知局限。根据学生的认知发展层次和每个阶段的水平要求，表1列出对一元函数的导数及其应用认知发展的层次。

学习进阶	学生认知结构的发展层次	核心概念和知识要求	能力水平
操作感知期	基于实例感知核心概念	平均变化率、割线斜率、瞬时变化率的直观感知	识别、叙述
过程理解期	掌握导数的定义，基本运算法则	导数的定义、导函数、导数的四则运算法则	理解、计算
对象建构期	理解其多重意义，并能与其他数学概念建立联系	导数的几何意义、物理意义等，掌握“以导数刻画函数性质”的完整逻辑	分析、建模
图式整合期	综合运用导数解决复杂问题	导数的综合应用	应用

三、高中数学导数单元学习进阶模型构建

根据学习进阶理论的三个“台阶”和课程标准及教材的分析，一元函数的导数及其应用的进阶模型见图2。

（一）一元函数的导数及其应用的起步之阶

起步之阶为学习进阶的起点，是学生在之前的学习中已经掌握的知识。建构主义学习理论认为个体在进行知识的学习时，先前的生活经验保存在头脑中，在学习过程中，通过与外界环境的相互作用，构建新的认知图式。因此，先前的知识经验是学生学习的基础，从学生已经掌握的知识入手，更有利于学生的理解。在本单元中，将“平均变化率”作为起步之阶，借助多情境导入：1.物理原型：汽车位移—时间函数 ,计算内的平均速度；2.几何载体：曲线上两点、，计算割线斜率；3.经济案例：某商品利润函数，分析产量从增至时的平均利润率。通过以上问题引导学生归纳共性，提炼平均变化率的符号化定义，激活学生已知“变化率”的概念，为瞬时变化率的学习提供认知基础。

（二）一元函数的导数及其应用的进步之阶

进步之阶是在起步之阶的基础上，将需学习的知识与头脑中原有的知识建立联系，进而逐步建立和掌握新知的过程。布鲁纳学习理论认为：学习的实质是一个人把同类事物联系起来，并把它们组织成赋予它们意义的结构。通过上文对课程标准和教材的分析，将导数的概念及其几何意义、导数的运算作为本阶段的重要内容。参考布鲁姆教育目标分类理论将认知领域教育目标由简单到复杂分为知道、理解、应用、分析、综合、评价六个层次；郭玉英教授团队将发展层级划分为“经验、映射、关联、系统、整合”。本文结合一元函数的导数及其应用的知识内容特点和单元特点，划分出以下四个步骤：经验感知、映射迁移、关联分析、系统整合，这四个步骤由低阶到高阶，符合学生认知发展的特点，因此将其作为进步之阶的四个“台阶”。

1. 导数的概念及其意义

导数的概念是进行本单元学习需要解决的重要问题，其本质为瞬时变化率，具有高度抽象性。且在小学和初中的学习过程中未涉及过，为高中首次接触内容，学生理解起来较为困难，导数的概念及其几何意义的进阶路径见表2。

进阶水平	核心目标	关键学习内容与活动
经验感知	建立瞬时变化率的原始直觉	结合起步之阶的问题1，抛出问题：如何精确描述某一瞬间的速度？引起学生思考
映射迁移	实现平均变化率→瞬时变化率的认知跃迁	极限思想引导：时间/距离间隔无限缩小时，平均速度/割线斜率趋近的值。理解瞬时变化率是平均变化率时的极限值，即无限短时间内的平均变化率
关联分析	理解导数的定义及几何意义	将直观发现抽象为数学符号，得到导数的定义。利用信息技术工具演示动态效果图，研究从曲线的割线过渡到切线、从割线斜率过渡到切线斜率，得到导数的几何意义
系统整合	灵活切换代数定义与几何意义，解决简单切线问题	打通导数的代数与几何表征，能够解决曲线简单的切线问题及简单的实际应用题

2. 导数的运算

数学运算作为数学的基础工具，贯穿于数学学习和问题解决的各个环节。数学运算作为数学学科核心素养之一更是培养逻辑思维、抽象能力和创新意识的途径。无论是应对考试、学习高阶数学，还是在科研、工程等领域，扎实的运算能力都是不可或缺的基础。因此，导数的运算法则作为单元的基础性工具，其进阶路径见表3。

进阶水平	核心目标	关键学习内容与活动
经验感知	会求基本初等函数的导数	根据导数的定义，求出基本初等函数的导数，掌握导数基本运算法则的感性认知
映射迁移	掌握导数的四则运算法则	理解导数运算的逻辑结构，将其推广到一般情况，得到导数的加、减、乘、除四则运算法则
关联分析	掌握复合函数的基本运算法则	一些函数并不是基本初等函数由四则运算得到，引导观察此类函数的结构特点，总结出复合函数的基本运算法则
系统整合	综合掌握导数运算	综合运用导数运算解决复杂问题，形成系统性思维，反思运算的数学本质

（三）一元函数的导数及其应用的目标之阶

目标之阶是在学习导数的概念及其意义和导数的运算后期望达到的目标水平。导数的应用以“变化率”为核心，探究从局部特征（单调性、极值）到整体形态（凹凸性、拐点）的性质，其重要性不仅体现在对数学理论的理解与实际问题的解决中，更在于培养逻辑推理、数学建模与跨学科应用的核心能力。根据高中新课标中对于导数的应用的学业要求：能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律并解决简单的实际问题。一元函数的导数及其应用的目标之阶进阶路径见表4。

应用方向进阶	水平进阶	核心目标	关键学习内容与活动
单调性分析	基础层	识别函数的单调区间，掌握导数符号与单调性的直接对应关系	计算简单函数（如）的导数；通过图像观察导数符号与函数增减的对应关系
	进阶层	结合导数符号与函数图像，分析单调性的全局特征	分析含绝对值的函数、分段函数的单调性
	高阶层	利用单调性证明不等式或解决复杂函数的趋势性问题	不等式的证明策略（构造辅助函数法）；数学归纳法与单调性的结合（如数列单调性证明）；利用导数分析函数的渐近行为
极值与最值	基础层	找到函数的极值点，区分极大值与极小值	极值的定义（局部最大值/最小值）；驻点与极值点的区别（如在处）
	进阶层	分析含参函数的极值，利用二阶导数简化极值判定	参数分离法（讨论参数对函数的影响）；二阶导数的计算（如复合函数、隐函数的二阶导数）
	高阶层	求函数的最值，解决复杂优化问题	理解函数最值与极值的关系，解决含参函数的最值问题，实际问题的数学建模（如几何、物理中的优化问题）
凹凸性与拐点	基础层	判断函数在区间内的凹凸性，找到拐点	二阶导数的计算；凹凸性的几何意义；拐点与极值点的区别
	进阶层	结合凹凸性与单调性，绘制函数的精确图像	用“描点+导数分析”法绘制的图像（含极值点、拐点、凹凸区间）；对比与的图像，总结高次奇函数的凹凸性规律
	高阶层	利用凹凸性证明不等式，分析函数的增长速率特征	设计“复合情境”问题，引导学生用“导数工具链”系统分析，体会“凹凸性影响函数图像形状，进而影响最值位置”的逻辑。

四、结语

数学课程的学习重在提升学生的数学思维，最终要实现数学核心素养的发展。学习进阶视域下的教学更加注重学生的思维层级，能够促进学生的思维由低阶向高阶发展，所以基于学习进阶理论进行单元式教学，有利于系统掌握知识、提升解决问题的能力，最终实现核心素养的发展。

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