引言

现代投资组合理论的核心在于通过合理的资产配置，在控制风险的前提下实现收益最大化。自Markowitz（1952）提出均值-方差模型以来，投资组合优化逐渐从理论走向实践。夏普比率作为衡量风险调整后收益的关键指标，进一步推动了投资绩效评估体系的发展。线性规划作为运筹学的重要工具，因其计算高效、模型简洁，在资产配置中具有广泛的应用前景。

然而，现实中投资者往往面临多目标决策问题：既要追求高收益，又需控制组合波动，同时还要考虑流动性、交易成本等现实约束。传统的线性规划模型虽能快速求解收益最大化问题，但往往忽略风险分散，导致投资组合过于集中，市场适应性较差。夏普比率最大化模型则通过引入风险调整机制，在收益与风险之间寻求平衡，更符合现代投资管理的实际需求。

本研究基于六种投资策略的历史交易数据，系统构建线性规划与夏普比率最大化两种优化模型，对比分析其在权重分配、组合绩效等方面的差异。研究旨在为投资者提供一种科学、系统的资产配置方法，同时探讨不同优化模型在实际应用中的适用性与局限性。

一、 文献综述

投资组合优化研究始于Markowitz（1952）提出的均值-方差模型，该模型首次将风险量化为收益的方差，并通过有效前沿刻画了最优风险-收益组合。在此基础上，Sharpe（1966）提出资本资产定价模型（CAPM）与夏普比率，进一步推动了风险调整收益理论的发展。夏普比率已成为衡量基金绩效、评估资产配置效果的重要标准。

线性规划在投资组合优化中的应用可追溯至20世纪60年代。由于其模型结构清晰、求解效率高，线性规划被广泛用于资产配置、风险预算、现金流匹配等问题。然而，线性规划通常假设目标函数与约束条件均为线性，难以直接处理夏普比率等非线性问题。因此，实践中常采用近似转化或分段线性化方法进行处理。

近年来，随着计算能力的提升，非线性规划、随机规划、鲁棒优化等方法在投资组合优化中得到广泛应用。尤其是夏普比率最大化问题，常通过二阶锥规划、半定规划等现代优化技术进行求解。然而，这些方法对数据质量和计算资源要求较高，在中小型投资者中的普及仍有限。

总体来看，现有研究多集中于理论模型构建与数值算法改进，对实际投资场景中不同优化方法的对比分析仍显不足。本研究试图在这一方面进行补充，通过实证数据验证线性规划与夏普比率最大化模型的实际效果。

二、研究设计

（一）数据来源与处理

本研究选取六种具有代表性的投资策略作为研究对象，其历史交易数据来源于实盘记录，时间跨度为2020年1月至2024年12月。各策略的基础绩效指标如表1所示。

策略名称	年化收益率	年化波动率	超额收益率	方差
不涨的烂臭	0.2423	0.1701	0.2282	0.0289	7.886
A股	0.2609	0.1787	0.2468	0.0319	7.728
大框哥	0.6285	0.2698	0.6144	0.0728	8.441
反同指标	1.7740	0.5936	1.7599	0.3524	4.994
双子窥天	0.7545	0.5142	0.7404	0.2644	2.800

年化波动率采用历史数据，无风险利率设定为1.41%。

（二）模型构建

1.变量设定

设五种策略的权重分别为、、、、。

2.线性规划模型

以投资组合收益最大化为目标：

约束条件：

其中为各策略年化收益率。

3.线性规划的Excel求解步骤

（1）步骤1：准备数据表
在Excel中输入策略名称、年化收益率、权重初值（设为0）并创建如表2所示的数据表。

策略名称	年化收益率	权重	约束条件
不涨的烂臭	0.2423	0	1
A股	0.2609	0	1
大框哥	0.6285	0	1
反同指标	1.7740	0	1
双子窥天	0.7545	0	1

（2）步骤2：设置目标函数
在单元格中输入目标函数公式：

=SUMPRODUCT(B2:B6,C2:C6)

其中B2:B6为年化收益率区域，C2:C6为权重区域。

（3）步骤3：设置约束条件

权重总和约束：SUM(C2:C6) =1

非负约束：C2:C6 >=0

（4）步骤4：使用Excel规划求解

点击"数据"选项卡中的"规划求解"

设置目标单元格为目标函数所在单元格

选择"最大值"

通过更改可变单元格选择权重区域C2:C6

添加约束条件：

SUM(C2:C6) =1

C2:C6 >=0

选择求解方法为"单纯线性规划"

点击"求解"

（5）步骤5：获取结果
求解后，Excel显示最优解为将全部权重分配给"反同指标"策略，即=1，其他权重为0。目标函数值为1.7740，即177.40%的年化收益率。

线性规划单纯形法求解过程：

线性规划标准形式：

目标函数：Max Z =0.2423x₁ +0.2609x₂ +0.6285x₄ +1.7740x₅ +0.7545x₆

约束条件：x₁ + x₂ + x₄ + x₅ + x₆ =1

非负约束：x₁, x₂, x₄, x₅, x₆ ≥0

通过单纯形法迭代，最终得到最优解：x₅ =1，其他变量为0，Z =1.7740

4.夏普比率最大化模型

由于夏普比率最大化是非线性问题，采用近似解法：

其中=1.41%为无风险利率，为年化波动率。

夏普比率最大化权重计算：

总和 =7.886 +7.728 +8.441 +4.994 +2.800 =31.849

=7.886/31.849 =0.2476

=7.728/31.849 =0.2426

=8.441/31.849 =0.2650

=4.994/31.849 =0.1568

=2.800/31.849 =0.0879

三、实证结果

（一）基础数据分析

各策略绩效指标如表3所示。可以看出，“反同指标”策略收益率最高，但波动率也最大；“大框哥”策略在收益与风险之间表现较为均衡。

策略名称	年化收益率	年化波动率	超额收益率	方差
不涨的烂臭	0.2423	0.1701	0.2282	0.0289	7.886
A股	0.2609	0.1787	0.2468	0.0319	7.728
大框哥	0.6285	0.2698	0.6144	0.0728	8.441
反同指标	1.7740	0.5936	1.7599	0.3524	4.994
双子窥天	0.7545	0.5142	0.7404	0.2644	2.800

（二）权重优化结果

权重优化结果见表4。

优化方法	x1	x2	x3	x4	x5
线性规划	0	0	0	1	0
夏普比率最大化	0.2476	0.2426	0.2650	0.1568

线性规划将全部权重分配给收益率最高的“反同指标”策略，而夏普比率最大化方法则产生分散化投资组合。

（三）优化后组合绩效

优化后组合绩效见表5。

绩效指标	线性规划组合	夏普比率最大化组合
预期收益率	177.40%	86.92%
预期波动率	59.36%	28.74%
夏普比率	2.966	2.976

夏普比率最大化组合在保持较高收益的同时，显著降低了波动率，实现了更优的风险调整后收益。

四、讨论与分析

（一）模型比较分析

线性规划模型以收益最大化为单一目标函数的构建方式，在数学上必然导向对历史收益最高资产的完全集中配置。这种优化结果的产生，源于线性规划在求解具有线性目标与线性约束的凸优化问题时，其最优解通常出现在可行域的顶点（即“角点解”）这一数学特性。从投资学视角审视，该模型蕴含了一个关键且通常与现实不符的假设：未来收益模式将与历史表现完全一致，且投资者为风险中性。尽管在回溯测试中，此类高度集中的组合能够实现极致的样本内收益（本研究中年化收益率达177.40%），但其样本外风险被显著低估。在实际动态市场环境中，任何单一策略均可能面临因子失效、市场风格转换或流动性冲击等特有风险，将全部资本配置于单一资产实质上放弃了分散化这一现代投资组合理论的核心要义，导致组合的稳健性与抗风险能力极为脆弱。

相比之下，夏普比率最大化模型将风险（以收益率的波动率σ度量）明确纳入优化框架，其目标是最大化单位总风险所获得的超额收益补偿。该模型的理论基础源于托宾（1958）的分离定理，即在存在无风险资产的情况下，所有有效投资组合均由无风险资产与一个特定的风险资产组合（切点组合）构成，而该切点组合正是夏普比率最大的投资组合。本研究的实证结果（表4）验证了该模型的有效性：通过将资本分散配置于多个资产（权重分布于全部五种策略），优化组合在将波动率从59.36%显著降低至28.74%的同时，仅将预期收益从177.40%调整为86.92%，最终实现了更高的夏普比率（2.976>2.966）。这一结果表明，夏普比率最大化模型并非单纯追求收益或规避风险，而是致力于在收益与风险二维空间中寻找最有效的平衡点，其产生的分散化配置结构能更有效地抵御单一策略失效带来的冲击，符合审慎风险管理原则。

（二）权重分配合理性

夏普比率最大化模型所生成的权重配置（表4），其内在逻辑可由各资产的风险调整后吸引力指标完全解释。该指标的经济含义为，资产i的单位方差风险所承载的超额收益。模型赋予“大框哥”策略最高权重（26.50%），其根本原因在于该策略的此项指标值（8.441）为所有策略中最高。这反映出，在边际意义上，增加对“大框哥”策略的配置，对提升整个投资组合夏普比率的贡献效率最为显著。换言之，该策略在历史数据中展现了最优的“收益-风险交换效率”。

反观“反同指标”策略，尽管其拥有绝对最高的历史收益率（1.7740），但其过高的波动率（0.5936）导致其方差项巨大，从而严重拉低了其风险调整后的吸引力指标值（4.994）。在夏普比率最大化框架下，组合的整体风险（分母）是各资产权重与方差及协方差的函数。对高波动率资产配置过高权重，会以二次方的速度急剧放大组合的整体方差，即便其能线性增加预期收益（分子），最终也可能导致风险调整后收益比率的下行。因此，模型将其权重限制在15.68%，是优化算法在利用其高收益特性与管控其高风险贡献之间进行精确数学权衡的结果。这清晰地揭示了，在均值-方差范式下，风险是一种成本，过高的风险成本会侵蚀甚至抵消高收益带来的潜在益处。

（三）方法论局限

本研究在模型构建中采用了策略间收益率相关性为零的假设，并基于线性规划框架进行对比分析，这两项设定在简化问题、突出核心机理方面具有明确价值，但也构成了研究结论适用的主要边界。首先，资产间相关性的零假设虽使组合方差计算简化为各资产方差的加权平方和，便于推导出清晰的权重解析式，却与金融市场的典型事实存在差距。实际中，策略或资产间往往因共同的风险因子暴露而产生不同程度的联动性，忽略这种相关性结构，尤其是正相关性，会导致对投资组合整体风险的低估，并可能错过利用负相关性构建更具韧性组合的机会。因此，未来的研究需引入历史或前瞻的协方差矩阵，构建完整的均值-方差模型，以使风险刻画与配置结果更贴近现实。其次，线性规划方法在求解夏普比率最大化问题上存在固有的理论局限。夏普比率的目标函数本质上是非线性的，其分母为组合标准差，这使得问题无法被标准的线性规划算法直接精确求解。本研究将线性规划作为一种对比基准，正凸显了其仅适用于线性目标与约束场景的特点。对于夏普比率的最大化这一非线性优化问题，严谨的求解必须依赖专门的非线性优化方法，如序列二次规划或内点法等数值算法，方能获得在复杂约束下的精确最优解。明确这些方法论前提，对于正确理解本研究结论及在实务中恰当选择优化工具至关重要。

五、结论与建议

本研究通过线性规划与夏普比率最大化模型的对比分析，证实了考虑风险调整收益在投资组合优化中的重要性。主要结论如下：

以追求历史收益率最大化为单一目标的线性规划优化方法，由于其数学形式与求解特性，往往导致资产配置高度集中于历史表现最佳的单一资产。这种配置方式完全忽视了资产自身的波动性特征及其在组合中产生的风险叠加效应，从而形成理论上极端、实践中脆弱的投资组合结构。尽管在回溯测试中此类组合可能呈现出可观的收益率，但其风险未被有效分散，在实际市场环境中面对策略失效、市场转向或流动性冲击时，可能暴露于远超预期的损失风险之中；

以夏普比率最大化为导向的优化模型，通过将波动率作为风险度量纳入目标函数，在数学框架内实现了对收益与风险的综合权衡。该模型旨在最大化每承担一单位总风险所获得的超额收益，其优化过程自动兼顾收益提升与风险控制，生成具有分散化特征的资产配置方案。本研究的实证结果显示，基于夏普比率最大化得到的投资组合，在显著降低整体波动率的同时，仍能保持具有竞争力的预期收益，从而在风险调整后收益指标上表现更优。因此，相较于单纯追求收益的线性规划方法，夏普比率最大化框架能够提供在效率与稳健性方面更为均衡的配置建议；

在将优化模型应用于实际投资场景时，需充分意识到理论模型与真实市场之间的差异。现实中的投资活动涉及交易成本、流动性约束、税收影响以及制度限制等多种复杂因素，这些因素均会直接影响资产配置的可执行性与最终绩效。因此，实践中应避免机械套用某一模型的输出结果，而应结合多种优化思路，并将各类现实约束纳入分析，进行综合评估与动态调整。

基于上述结论，本研究对投资者提出如下建议：在构建和管理投资组合时，应避免仅依据历史收益率做出配置决策的片面做法，必须建立完整的风险观，将波动率、下行风险、相关性结构等风险维度纳入评估体系。鼓励采用以夏普比率等风险调整后收益指标为核心的科学优化方法，作为资产配置决策的辅助工具，以此引导资金分配更注重风险调整后的效率，从而在可接受的风险水平下，更科学、合理、稳健地实现资产配置目标。

参考文献：

1. [1] Markowitz H. Portfolio selection[J].The journal of finance,1952,7(01):77-91.
2. [2] Mansini R, Ogryczak W, Speranza M G. Linear and mixed integer programming for portfolio optimization[M].Heidelberg:Springer,2014.
3. [3] Luenberger D G, Ye Y. Linear and nonlinear programming[M].Berlin: Springer,2016.