引言

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，要着力培养学生会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，引发学生思考则是对学生数学思维的培养的重要培养。勾股定理是学生第一次接触直角三角形三边的数量关系，如何通过勾股定理提高学生的思维能力，引导学生思考、发现、探究直角三角形三边之间的数量关系是关键。

1. 分析教材，厘清内容

本节课是人教版八年级下册第十七章“勾股定理”第一部分内容，主要是涉及勾股定理的概念，几何语言的表达，勾股定理的证明过程及应用。传统教学对于勾股定理的猜想以及证明，都是由教师直接提出，学生单记结论。如此安排会剥离学生对于知识的形成和运用之间的关联性，只记公式是不利于知识的获取以及迁移的，对于勾股定理的变形题目无法解决。

本节课的知识点可以通过毕达哥拉斯探究地砖面积的小故事提出等腰直角三角形三边关系的猜想，再引导学生思考：是不是所有的直角三角形都满足这样的三边关系，最后证明。通过历史故事吸引学生学习的兴趣，并利用旧知——直角三角形面积来探究新知，层层递进，让学生自己提出猜想，深化知识结构。

2. 实施教学，落实目标

（一）精讲留白

首先通过播放毕达哥拉斯通过地砖的面积探究等腰直角三角形三边关系的视频，让学生通过动画演示感受等腰直角三角形直角边和斜边为边长所构造出的正方形面积之间的关系，从而得出等腰直角三角形的三边关系——直角边的平方和等于斜边的平方。

问题1：同学们，等腰直角三角形中三边关系满足：直角边平方的和等于斜边的平方，那是不是所有直角三角形都满足这样的数量关系呢？

学生根据已有的认知经验可能会回答：是或者不是。引导学生带着问题观察教师进行的教具展示。

根据学生的回答，教师通过几何画板展示不同大小的直角三角形三边的数量关系，不断移动直角三角形的两条直角边，改变三角形的大小，使得此直角三角形不再只是一个等腰三角形，并让学生根据教具展示的结果得出猜想，即所有的直角三角形均满足直角边平方的和等于斜边的平方这样的数量关系。

问题2：根据得出的猜想，如何证明此猜想呢？

给学生1分钟思考的时间，学生根据所学的内容尝试证明。

根据学生的回答，教师引出“2002年北京召开的国际数学家大会的会徽”“赵爽弦图”等实际应用，教师利用“赵爽弦图”引导学生利用切割法，切割成4个直角三角形和一个小正方形，利用完全平方公式证明。

设图像中三角形的直角边为a，b，斜边为c。根据正方形面积公式为边长的平方，则 S_正方形 = c²；同时，根据图形的切割，正方形也可以切割成4个全等的直角三角形和1个小正方形，4个直角三角形的面积和为4×ab =2ab，小正方形的边长为（b-a），小正方形的面积为（b-a）² = b² -2ab + a²，则根据求大正方形面积可得：c² =2ab + b² -2ab + a²，则 a² + b² = c²，根据图形的切割和完全平方公式的变形即可证明。

得出勾股定理后，引导学生根据勾股定理的概念推出几何语言。

勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a² + b² = c²。

推出几何语言：∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，

∴ a² + b² = c²。

问题3：根据勾股定理，解决例题。

设计意图：为让学生更好地研究图形知识的基本思路，带领学生经历发现—猜想—证明的过程。教师仅介绍基本的知识点、基本概念，同时保留了一部分留白，培养学生独立思考的能力。教师从学生的认知水平出发，一步步带领学生感受概念公式的形成和证明过程，让他们在教具具象动态与思维抽象动态下感受知识的完整性、生长性。

（二）独学内化

教师根据学情，本节课重难点设计本节课的独学单，学生可以根据自己的个人特点和具体情况，以自己的节奏去完成独学单，完成对教材内容更为全面的学习和理解，并将自己不会的地方记录下来。同时，教师可以通过巡堂发现并记录学生出现的典型错例，在后面的全班交流环节进行评讲。以下为课堂上使用的独学单：

17.1.1 勾股定理 独学单

勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

几何语言：如图2，∵________________，

1.设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c，如图3。

1. 已知 a =6，c =10，求 b；
2. 已知 a =5，b =12，求 c；
3. 已知 c =25，b =15，求 a。
   

   

2. 在 Rt△ABC 中，AB＝4cm，AC＝3cm，则 BC 的长为 ______。

3. 如图4 是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形 A，B，C，D 的面积分别是3，5，2，3，则正方形 E 的面积是 ______，正方形 F 的面积是 ______，正方形 G 的面积是 ______。

提高：

4. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为 ，较短的直角边长为 ，若 ，大正方形的面积为 ，则小正方形的面积为 _____。

设计意图：为让学生更好地形成研究图形知识的基本思路和一般概念，教师根据本节课的重难点由易到难设计题目，从最简单的记忆概念和公式，再利用勾股定理的公式结合基础与变式题，将勾股定理的基础应用与勾股树、赵爽弦图有机结合，考察学生对于知识点的掌握水平。题型尽量包含考试中的所有题型。对于勾股树的题目，可以选择适当留白，让学生先思考勾股树中各个量之间的关系，再进行讲解与提高。

（三）小组讨论

小组讨论由小组长带领组员进行充分的讨论，每个组员提出自己知识上的疑点、难点，发挥整个小组团队的智慧，解决低阶问题，并提出高阶问题。在活动中，培养学生的组织能力，表达能力，探究问题的能力。

学生在小组讨论过程中要善于倾听、发现问题，学生需要分析、评估自己与他人的观点，提出质疑和论据。例如：在讨论题目的时候，要考虑为什么会出现不同的答案；同时也可以在观点的碰撞中激发新想法，寻求创新性解决方案。例如：在讨论题目时，考虑是否有最佳的解决方法；老师在小组讨论时也可以深入讨论，观察学生讨论的状态、问题以及记录学生讨论出的新颖的方法，错误率较高的地方，例如：在做此独学单时，部分学生没有看清楚哪条边是斜边；没有分类讨论的意识；对于赵爽弦图和完全平方公式的综合运用掌握得不好……所有发现的问题都可以作为全班交流时重点讨论的方向。

设计意图：为帮助学生进一步感受勾股定理在几何图形中的运用，本环节以小组为单位，给予了学生自主思考、自主讨论的过程，让其勇于在小组内发表自己的看法，发散学生思维。会的同学教不会的同学，实现同伴交流，让每一位同学在小组讨论中都能有所收获，把课堂时间真正地还给学生，满足学生多样化的学习需求以及个性发展，增强学生的表达能力与逻辑推理能力。

（四）全班交流

问题4：请小组派代表说出小组讨论中还没解决的问题。

学生1提问：题目：有一个直角三角形两条边长分别为3cm 和5cm，则第三边长为 ______。为什么本题有两个答案？

教师引导：有没有哪位同学可以帮忙解答？

学生2：本题没有指出这两条边中是否含有斜边。因此需要分类讨论，当3cm 和5cm 都是直角边是第一种情况，第二种情况是当5cm 是斜边时，第三边为直角边时。

教师再次提问：那需不需要考虑当3cm 为斜边时呢？

答案是“不需要”，此提问和之前学习的旧知识三角形三边关系相结合，直角三角形中斜边一定是三条边中最长的边，因此可以排除3cm作为斜边。也是为了避免学生考虑到了需要分类讨论，但忽略了三角形中的三边关系。

教师点拨：在解决直角三角形的问题时，要注意是否有规定哪个角是直角。如果有规定哪个角是直角，三条边是唯一确定的，不需要去分类讨论。如果并没有规定哪个角是直角或者哪条边是斜边时，就要去分类讨论。

设计意图：本环节主要是考察了学生通过小组讨论结束后对于勾股定理应用的掌握情况，是否理解勾股定理公式中各项的含义。并且让学生帮学生解决问题，目的是提高课堂的效率，对于简单的题目让学生在小组内讨论解决后就不需要教师再讲，并且有时候同伴之间互相交流会比教师单讲的效果更好。在这个环节，教师同样可以把课堂交给学生，实现教师与学生、学生与学生之间的交流，把课堂还给学生，解答学生真正出现的问题才是这个环节要达成的目标。

3. 教学反思

为更好地践行对分课堂模式下的初中数学课堂，笔者从以下两个方面进行反思，期望能更好地助力对分课堂教学的实施。

（一）精讲留白的时间安排以及留白内容

在教学过程中教师要认清自身引导者和组织者的身份，避免“灌输式”教学方式，而是要根据本节课的教学目标选择什么知识点该讲，什么是可以留白的。在本节课中，精讲了勾股定理的由来、实际应用、基础例题，对于一般直角三角形直角边与斜边关系的猜想、赵爽弦图的证明方法留白给学生探究，让学生感受知识的生成过程，感受数形结合的证明，不断激发学生的思考分析能力，发散学生思维从而更好地理解知识。

（二）在师生交流中，融入对分课堂要求

在进行小组讨论、全班交流的过程中，教师对学生行为、学习效果的评价也是完成对分课堂教学模式的一个重要阶段，教师要及时评价，做得好的要鼓励，不好的要及时指正。在小组讨论中，教师需要不断巡堂，发现问题并及时指正。在全班交流过程中，教师可以任意挑选几个小组进行学习成果的汇报，并提出小组讨论中未解决的问题，在此期间，如果对提出的问题有解决思路，也可以让其他小组的同学大胆发言补充。在师生交流和生生交流的过程中培养了学生批判性思维和创造性思维，同时也提高了学生表达能力，为今后的学习奠定基础。

4. 总结

综上所述，本节课以八年级上册勾股定理为例，浅析了对分课堂下的数学课堂如何运行。对分课堂模式下的数学课堂，实现了课堂效率的提高，通过四个环节让学生真正理解了勾股定理的概念、证明过程以及如何应用，真正做到了以学生为主，把课堂还给学生，全面提高了学生的学习能力，提高了学生的数学学科素养，为培养全面发展型人才奠定基础。

参考文献：

1. [1] 田青, 闫清伟, 张学新. “对分课堂”教学模式的学理分析[J]. 高教论坛,2017(09):71-73.
2. [2] 孙抒文. “对分”实践谋自由 差异教学得平等：对分课堂在初中数学的初体验［J］. 数学教学通讯,2019（17）：29-30+35.
3. [3] 刘远碧. 对分课堂在初中数学教学中的应用［J］. 教育观察,2018,7（22）：32-33.
4. [4] 许冰. “对分课堂”教学模式在数学课程教学中的实践[J]. 职业,2018(23):80.