引言

由于复数的三角表示及其相关内容在高考中不做考试要求，即便高考中出现的复数题目都是一些关于复数计算的简单题目，这导致了复数题目在学生眼中都是送分题，对复数的理解浅显，觉得只要会复数的加减乘除计算即可，对复数三角表示可以完全不看。然而复数作为数学的重要组成部分，除了能有效培养学生的数学思维能力，在其他领域也有广泛应用，比如在量子力学中需要用复数形式表示波函数，此外复数三角表示在高中阶段的一些题目也能给学生提供新的解题思路。基于此，本研究以复数三角表示为主线，结合相关理论，提出复数在不同题型的解题策略。

一、理论基础

（一）复数的三角表示

定义 称为复数的模，定义 是与以x轴的非负半轴为始边向量，虚数在复平面所在的向量 所在射线为终边的角，叫作该复数的辐角。如果知道复数的辐角 与模长 r，则虚数即可表示成 ，这种形式叫作复数的三角表示式，简称三角形式。

（二）辐角判断方法

对于任何复数 （R且 已知），都可以根据其虚部 b 与实部 a 的比值判断复数 z 的辐角的大致范围。但由于同一个复数的辐角值不止一个，因此在本研究中规定辐角 Argz 的范围为 。此外判断辐角需要根据虚部 b 与实部 a 比值的情况分类讨论。

1. 比值为特殊情况

虚部 b 与实部 a 比值为特殊情况指的是在高中阶段不借助其他工具直接得出辐角的情况，包括辐角为 以及比值的绝对值为1，，（分别如下图1、图2、图3）的情况。由于高中阶段课本并没有给出具体求辐角公式，故只能采取画图观察的方法确认。以下给出三种情况对应图。

2. 比值为一般情况

虚部 b 与实部 a 比值为一般情况指的是需要通过计算机才能算出辐角具体值的情况。面对这般情况高中学生只能通过画图分析大致判断其辐角范围：

第一种情况是关于共轭复数的情况。由于在复平面上一对共轭复数对应的向量以 y轴为对称轴，因此一对共轭复数的辐角在 范围内互为相反数，从该角度可以观察出一对共轭复数的积一定是正实数。此外若只看辐角忽视求模长的前提下，与一个复数 z 相乘相当于与其共轭复数 相除。

第二种情况是复数对应向量互相垂直的情况。例如两个复数 a+bi 与 c+di（其中 ac+bd=0），根据平面向量的知识发现 与 在复平面对应的向量互相垂直，此情况下说明 与 对应的辐角存在 的差值（在 范围内，除了第二和第四象限比较特殊，其他情况都是大角比小角大 ）。

除此之外，其它情况只能通过反正切函数图像和虚部 b 与实部 a 的比值大致判断辐角的范围。

（三）复数乘除法及其几何意义

1.复数乘法及其几何意义

乘法：已知 ，，则根据复数乘法公式以及三角函数相关内容可算得：

据此可以得出结论，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和。

乘法的几何意义：确定复数需要看模和辐角。如图4所示，求积的模，先确认 的模 ，接着将 的模变成 的 倍即可；求积的辐角，先确认 的辐角 ，接着将逆时针旋转 即可（若 在 范围内为负则顺时针旋转 ）。

2.复数除法及其几何意义

除法：已知 ，，根据复数除法得：

也就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。

除法的几何意义：求两个复数 Z₁，Z₂ 相除结果类似于求积，如图5所示，求商的模，先确认 的模 r₁，接着将 的模变成 r₁ 的 倍；求商的辐角，同理先确认 的辐角 ，接着将顺时针旋转 即可（若 在 范围内为负则逆时针旋转 ）。

二、复数在不同题型的解题策略

复数的基础运算题虽常以简单面貌出现，但其中蕴含的三角表示与几何意义有时能成为简化计算的“捷径”。因此在利用复数解决其他不同的题型时，若能跳出纯代数运算的框架，分析复数的模与辐角，往往能帮助学生快速得出答案。

（一）复数题型

对于许多复数计算问题，虽然可以通过复数的四则运算计算出答案，但是有些题目因为计算量稍大，导致一些学生容易出现计算失误。本研究建议学生在算出答案后采用复数三角表示方法进行检验，从而减少因为计算出现的失误。

例1：（2023 全国甲文·2）

=（）

A.1-2i B.1 C.1-i D.1+i

分析：这道题目可以通过正常的方法先算分子结果再算分母的结果，接着化简即可得到结果，这种方法思路清晰但计算量不算少。换个角度，尝试利用三角形式以及复数乘除相关内容，首先分析 ，接着利用三角形式分析 ，最后得到答案。

解析：计算 ，得到结果为1-i。通过分析分母 (2+i)(2-i)，一对共轭复数相乘，结果为正实数，结果是5，即， ==1-i 最终答案选 C。

点评：这道题可直接通过利用复数四则运算计算得到结果，但利用复数三角表示也能很快算出答案。在教学过程中，对于简单题目要做到不丢分，一个简单方法就是利用多种方法检验。因此老师在教导学生计算复数时，应该在教学生四则运算的同时带领学生从复数三角表示的角度检验结果。

例2：（2019 全国一卷文科·1）设 z=则=（）

A.2 B. C. D.1

分析：这道题目通过化简的方法先算 z 的结果，接着求模即可得到结果，这种方法思路清晰但计算量相对较大。如果尝试利用三角形式，分析题目发现只要分别求出3-i 与1+2i 的模后相除即可得到答案。

解析：分别计算 z₁=3-i 与 z₂=1+2i 的模，得到结果分别是 r₁=，r₂=。接着根据复数除法几何意义直接求 即可算出，|z|== 最终答案为选 C。

点评：这道题可直接利用计算能力算出结果，但利用复数除法几何意义能快速口算算出答案。在考试中，如果能从不同的角度，利用不同的方法，能够找出更加快速的方法。这不仅要求学生在平时多练习，也需要教师自身知识储备丰富。

例3：（2020 山东卷·2）

=（）

A.1 B.-1 C.i D.-i

例4：（2020海南卷·2）

（1+2i）（2+i）=（）

A.4+5i B.5i C.-5i D.2+3i

例5：（2020全国3卷·2），则 z=（）

A.1-i B.1+i C.-i D.i

分析：以上罗列出的三道题目都有个共同点，主要是考计算、化简。此外还有两个特点，其中一个特点是给出的四个选项里都不在同一个象限和 x 与 y 半轴，另外一个特点在于两个相除或相乘的复数之间的辐角关系存在相加或相减为 的情况。因此，除了通过直接计算化简复数 z 外，也可以直接通过分析辐角大小，从而相对快速地得到答案。

解析：分析例题3，可以发现两个复数 z₁=2-i 与 z₂=1+2i 在平面对应的向量是相互垂直关系，其中复数 z1=2-i 对应的点位于第四象限，复数 z2=1+2i 对应的点在第一象限，那么可以得出两个复数对应的辐角 与 存在着 =（范围在 内）。根据复数除法几何意义可知 z= 的辐角 =-，则可以知道复数 z 为 -ki (k>0,k)，观察选项得出答案 D。同理例题4，分析辐角好像不是那么容易发现规律，但可以发现复数 z₁=1+2i 在复平面对应的向量与复数 z₂=2+i 的共轭复数 =2-i 对应的向量是相互垂直的，若只考虑辐角关系则题目相当于问复数 z 的辐角，那么就和例题3一样的思路，答案选 B。同理例题5也是类似，可以算出复数 的辐角为 -，而复数 z 在范围 是复数 z 辐角的相反数，算出最终结果 D。

点评：不难发现，以后遇到这种类型的题目，可以通过以上方法，帮助学生节省一些计算时间。

例6：（2022新高考2卷·2）（2+2i）（1-2i）=（）

A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i

例7：（2021全国乙卷文科·2）设 iz=4+3i，则 z=（）

A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i

分析：虽然例题6和例题7不能像前面那样，但还是能利用辐角关系进行分析，联系其他知识求出答案。

解析：分析例题6，可以算出复数 z1=2+2i 的辐角 ，但复数 z₂=1-2i 的辐角 不能算出具体数值，即便如此仍可以根据反正切函数可以算出 的范围。先算复数 z₂ 的共轭复数 =1+2i，虚部和实部的比值2>，可以算出 的辐角范围为 ，则辐角 。接着根据复数乘法几何意义算出复数（2+2i）（1-2i）的范围在第四象限，即可得出答案 D。同理例题7，复数 z，复数 z₂=i 对应的辐角 ，复数 的虚部和实部的比值 ，其对应的辐角 ，则复数 z 的辐角 在第四象限，故答案选 C。

点评：虽然不能说每一道题目都有共轭复数或垂直情况，但面对一些题目是可以通过分析虚部和实部的比值的范围，根据反正切函数性质判断辐角的范围，联系不等式的知识进行解题。

（二）解析几何题型

回顾往年高考题，解析几何的题目占比都是比较大的，但难度不低，尤其是关于圆锥曲线的大题，可以说解析几何对于学生而言是“又爱又恨”。观察复数乘除法的几何意义，发现主要是关于复数对应向量的顺逆旋转和长度的拉长或缩短，其有着代数的简洁性和几何的直观性。因此解析几何问题中对涉及旋转和角度问题，复数乘除法的几何意义能够为学生提供一种新的解题思路。

1.旋转轨迹题型

对于一些求轨迹题目特别是关于求图形旋转后的轨迹题目，通过常规计算方法计算量比较大。而有时候利用复数乘除的几何意义时能够做到事半功倍。

例7：（2024湖北鄂南高中一模，13）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转得到点 P。现将双曲线上的每个点 M 绕坐标原点 O 沿逆时针方向旋转后得到的曲线 C, 则曲线 C 的方程为（）。

分析：明显这题出题人希望学生能够按照题目给出的方法写这种旋转题型，但如果后面再遇到这种求旋转后轨迹题时，命题人并没有给出方法的话，相信这道题对于没学过复数乘法几何意义的学生来说较为困难。但如果这道题目利用复数乘法知识会很快算出答案。

解析：设点 M（x,y），则向量 ，其对应的复数：

i

将向量 绕坐标原点 O 沿逆时针方向旋转 ，则需构造一个新的复数 Z₂，其模长 r₂=1，辐角 ，z2=1=，旋转后的复数即为求 z₁·z₂ 的结果为 i，对应的点 M’()。发现 。则曲线 C=xy=1。

点评：在面对求旋转后的轨迹题目时，通过复数三角表示的方法，根据其旋转的角度以及长度的变化，构造一个新的复数 Z₂，几何方面将一条直线逆时针旋转，在代数方面就是将该直线向量对应的复数 Z₁ 与新构造的复数 Z₂ 相乘的结果。因此在平时的学习中老师在教关于求旋转后轨迹方法时可以有意引导学生往复数三角表示方向思考。

2. 双曲线角度题型

复数三角表示除了在求旋转后图形的轨迹有帮助外，在圆锥曲线中对学生思考也有很好的帮助。以2021 年八省联考第21题第二小问为例。

例8：双曲线 C: 的左顶点为 A，右焦点为 F，动点 B 在 C 上，当 BFAF 时，|AF|=|BF|

（）求 C 的离心率（答案为2）

（）若 B 在第一象限，证明：

分析：该题目用常规方法过程复杂、解题难度高，采用复数三角表示则能有效简化求解过程。

解题：画图。如上图。由题目知，点 。设 。题目即求 。

易得， ，则其对应的复数为：

i(i)

，

同理， ，则其对应的复数为：

i(i)

，

根据诱导公式得到：

，

要证

由题1可得 c=2a，

联立双曲线解析式 和 ，解得

)

要证 即证

①

由于 )，则 (x+a)²+y²=4x²+2ax-2a²②

由于 ) 且 c=2a，则

= =

由于 B 在第一象限即 ，故

③

将②、③代入① 得，，即得 。

讨论其中一种情况，由于 解得 ，即 BF。

由题可知 是以 ，则 。另外一种情况即 。证毕。

点评：关于这道圆锥曲线题目，由于要证明关于角度问题，可以采用复数三角表示形式快速表示出两个角的正余弦值，接着结合三角函数知识和计算把问题算出，还要注意讨论 的情况。因此在平时的课程中，对于圆锥曲线不能只是一味地计算，而是应该选择好思路，减少计算量。

三、教学启示

由于课标与高考对于复数方面的要求较低，学校里的老师普遍都是重点讲复数的几何意义和计算，导致学生对复数的理解浅显。在高中数学教学当中，老师不应该让学生对复数知识的学习只停留在关于复数的四则运算，即使复数的三角表示以及复数乘除几何意义在高考中不作要求，也应该给学生在解决数学题时提供一个新思路、新视角，拓宽学生解题的思路，并且可以帮助学生在大学学习复变函数打下基础。

四、结论和展望

数学的特点在于，通过简单的公式表达，把许多看似毫无关联的两个领域结合起来。复数的三角表示也是如此，它链接了复数与平面向量、三角函数，正如在圆锥曲线中利用复数三角表示等相关内容一样。复数的三角表示等内容的妙用在大学复变函数当中有详细说明，但在高中阶段因为种种原因导致高中生只学会复数的四则运算等较为浅显内容，希望未来从事数学教育研究人员能够探索出复数三角表示等内容在其他板块如函数等内容的运用方法，为学生解题提供多一条思考方向。

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