引言

课程思政作为一种教育理念和实践模式，近年来在国内外教育领域都引起了广泛的关注和深入的研究。我国高度重视课程思政建设，从国家层面出台了一系列政策文件，为课程思政的发展提供了有力的政策支持。国内学者围绕课程思政的内涵、目标、实施路径等方面展开了深入的理论研究。认为课程思政是将思想政治教育融入课程教学的各个环节，实现知识传授与价值引领的有机统一。其中教学模型与课程思政的结合是当前教育改革的重要方向之一，旨在通过构建科学合理的教学模型，将思想政治教育元素有机地融入专业课程教学之中，实现知识传授与价值引领的有机统一。目前大学的教学手段非常多样化，越来越多的教育方式引入教学实践中。在众多教育教学改革理念中，“O-LIS-E”教学设计以其独特的视角和实施策略，逐渐受到广泛关注和应用。“O-LIS-E”课程思政教学设计模型以学生为中心，以产出为导向，以建构主义理论、多元智能教学理论为基础，是一种结合了目标、导入、交互式学习、总结和评估五个环节的课程思政教学设计模型，为课程思政教学提供了一个清晰、系统的框架。有助于教师更加规范地设计和实施课程思政教学，确保思政元素能够有机地融入专业课程之中，该模型为提高高等数学课程教学效果的研究带来新的契机。高等数学课程具有“内容多、课程安排紧凑、理论抽象”的特点，传统的教学模式已经难以满足目前的教学需求，而“O-LIS-E”模型正是解决上述矛盾的有效途径。

一、教学总体设计思路

梯度是高等数学中应用性很强的一个版块，从知识角度来看，本块知识是后续学习多元函数的几何应用的一个基础；从学科延伸角度来看，与同学期开设的大学物理的相关知识联系紧密；从应用角度来看，梯度下降法是机器学习中最常用的模型优化方法之一。

但如何将梯度与方向导数联系起来，梯度在几何中如何体现，为什么引入等值线来刻画梯度的方向等，都是学生比较难理解的地方，很多学生觉得这块知识有点突兀，只能死记硬背没有理解其背后的实质。所以讲清楚梯度概念的由来及应用与拓展非常重要。

（一）实例引入，激发学习兴趣

孔子曾说道：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”，兴趣是最好的老师。在课堂学习过程中，通过有针对性地选择实例构建数学知识与学生之间的联系，将数学知识的发生、形式、发展和应用的过程寓于我们对现实的探索过程中，使学生真正感受到数学与我们的现实生活紧密相关，激发学生的学习兴趣。

（二）问题教学，激发内在动力

任何一个新知识的产生必然是为了解决问题的。爱因斯坦曾说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”。数学课更是如此，整堂课的教学设计都围绕问题展开，设置“提出问题——分析问题——解决问题——拓展应用”环节，体现数学思维的具体过程和概念、定理、方法的形成过程。

（三）思政教学，感悟人生哲理

梯度是微积分中的重要概念，在概念的分析过程中可以体会数学上未知到已知、特殊到一般、数形结合的学科思想；在梯度的应用中可以引发学生对人生道路的选择进行思考；在追溯数学发展史的过程中，学生可以体会科学家的研究精神。

（四）学科延伸，拓宽知识储备

利用梯度知识分析地理中等高线的应用，让学生在明确知识间内在联系的同时，了解科学研究中分析问题和解决问题的一般方式与方法。

二、教学目标

“O-LIS-E”教学设计以明确的、可衡量的教学目标为起点，确保教学活动的方向性和有效性。教学目标的设计总体框架如图1所示，以教材知识为基础，在上课的过程中培养学生的能力，并延拓对应的价值目标。

（一） 知识目标

1.掌握梯度的概念及梯度与方向导数的关系；

2.会用等值线刻画梯度的方向，理解其所包含的实际意义；

3.了解梯度在各个领域中的应用，能利用梯度分析实际问题。

（二）能力目标

1.能够通过具体实例探究背后的数学问题，并建立数学模型，从而解决问题，锻炼抽象思维能力；

2.为解决问题，能够回顾旧知，并推理分析，从已知到未知，从代数和几何的角度得出结论，提升逻辑推理能力，提高了学生分析问题和解决问题的能力；

3.通过教学，能够将所学知识拓展应用于实际问题的解决，激发学生学习数学的兴趣，培养解决实际问题的能力。

（三）价值目标

1.在课堂学习过程中，通过有针对性地选择爬山的实例构建数学知识与学生之间的联系，将数学知识的发生、形式、发展和被应用的过程寓于对现实的探索过程中，使学生真正感受到数学与现实生活紧密相关，培养他们对数学的兴趣，增强运用数学的意识，形成数学观念，从而激发他们的创新意识。

2.教学过程变单向传输为教与学的双向交流，使学生在良好的教学氛围中学习数学，接受新的知识，调动学生学习数学的兴趣与主观能动性；

3.通过生活中不同现象的对比，引导学生正确选择和规划人生道路。

三、导入环节与交互式学习

本知识点的教学设计中，遵循“以学生为根，以育人为本”的理念，从学生的知识和能力背景出发，依照科学研究和知识认知的规律，借助“问题教学法”“案例教学法”“启发式教学法”相结合的教学模式，将教材内容问题化，以问题为牵引，引导学生主动参与课堂各环节。

（一）在内容设计上

1.问题教学的主线

设置“提出问题——分析问题——解决问题——拓展应用”环节，体现数学思维的具体过程和概念、定理、方法的形成过程；

2.内容学习的明线

从实例入手，“函数在点处沿哪个方向的方向导数最大”的问题，通过方向导数的计算公式，逐步对公式进行变形、分析、总结，得到函数在点处沿方向的方向导数实质就是向量在方向上的投影。并直观地展示什么时候投影最大，即函数在一点处哪个方向的方向导数最大。最后从代数角度理论证明。得到梯度的概念，总结梯度、方向导数、函数值的关系；

发现梯度的方向有很大的实际应用，但是以上分析仅是从代数角度分析，自然提出问题：几何上如何直观地刻画梯度的方向？通过小山包模型，引出等值线，将梯度及等值线推广至三元函数；

最后介绍地理上等高线的应用、实际生活中的梯度知识举例、梯度在其他领域的应用，引发学生思考如何正确地选择和规划人生道路。并进行课堂小结。

3. 能力培养的暗线

（1）通过具体实例，引发关于变化和方向的思考，将问题抽象成数学问题，锻炼了学生的抽象思维能力；

（2）从已知知识入手，通过对方向导数的分析，引出梯度的定义，并在进一步探究方向导数和梯度关系的基础上，解释了开篇提出的爬山实例中的数学意义。强化了学生的逻辑推理能力与知识运用的能力；

（3）从数形结合的角度出发，通过对小山包模型的深入分析引出了等值线的概念，明确了几何上到底如何刻画梯度的方向，并将其推广到三维情形中。培养学生将问题抽象成数学模型的能力，掌握科学研究的思路；

（4）展示梯度在不同领域中的应用，进一步阐明了梯度的科学意义和实际价值。培养学生数学知识应用化的能力。在掌握知识的前提下对知识的内涵和外延。

（二） 在方法手段上

基于“O-LIS-E”模型，与问题教学法、案例教学法、启发式教学法相结合，采用课件、板书、视频相结合的教学手段。

在探究“函数在点处沿哪个方向的方向导数最大”过程中，按照学生的认知规律，以问题为牵引，通过提出问题、分析问题、解决问题进行推理分析，学生大胆猜测探索问题进行“学”、教师引导启发式地讲、在研究问题解决方法的过程中建立概念得到相关结论、通过课堂练习掌握巩固梯度的应用。最后布置知识检测作业。

（三）在情感价值体现上

1.课堂学习中通过发现问题、回顾旧知、引出概念，并围绕定义对实际问题给出数学解释，再拓展应用的过程，让学生感受数学思想方法，培养了学生的探索能力和创新意识，以及严谨的科学态度；

2.通过对梯度方向的讨论，引导学生感受数形结合的思想，明确科学研究的过程；

3.通过介绍“方向导数在梯度方向取最大”，引导学生树立正确的人生价值观，捷道固短未必行，曲径虽远可通幽。

教学设计，亦被称为教学系统化设计，是教师针对教学过程的全面规划，旨在实现对教学的整体把控。本堂课的教学流程设计见表1。

教学流程设计	教学环节	主要教学活动	设计意图
	一、问题导入	首先回顾方向导数，引出变化率的应用。通过引例（爬山过程中选择什么路线可以使得最快登顶），引出本节课的问题：函数在点	通过实例的引入，学生对梯度问题的研究背景建立了清晰且准确的认识，明确了科学问题产生的一般过程，即从实际生活中发现问题、解决问题，锻炼学生的抽象思维能力。
	二、梯度内容的介绍	教师和学生一起分析问题，利用方向导数的计算公式推导问题的解决方法，得到梯度的定义、方向导数与梯度的关系，最后利用梯度刻画引例的方向。加强梯度的理解。	由方向导数入手进行分析，在已有知识背景的基础下，进行发展和创新，从已知到未知，教师引导、学生为主体参与探讨，提升学生的逻辑推理能力。
	三、等值线内容的介绍	目前仅从代数角度分析了梯度，发现梯度的方向非常重要，提出问题：从几何上如何刻画梯度的方向呢？借助小山包模型讨论分析，给出等值线的概念。进而利用等值线与梯度分析地理中等高线的应用。接着通过一道例题巩固梯度与等值线的知识。最后将梯度及等值线的概念拓展到三元函数中。	通过模型的建立分析梯度的方向，并从平面上的曲线到一般的投影曲线，符合“特殊到一般”的认知规律，借助等值线对梯度的方向进行刻画，数形结合，让学生在明确了知识间内在联系的同时，了解科学研究中分析问题和解决问题的一般方式和方法。
	四、梯度的应用	列举部分实际生活中的具体例子，并引导学生用梯度语言解释其中的原理，并通过例子之间的对比引导学生正确地选择和规划人生道路。最后给出梯度在其他领域中的应用，拓宽学生的知识面。	将课堂学习进行延伸，从客观实际出发，使学生对梯度的应用有了更深刻的理解，使学生在掌握知识的基础上，提升了知识运用的能力，并对科研思维方法有了初步的认识与实践。

四、总结与提升

本堂课首先通过实例，结合方向导数，将实际问题转化为数学问题：函数处哪个方向的方向导数最大？从而抽象出梯度的定义。梯度的定义便回答了前面的攀登问题：沿梯度方向攀登最快到达登顶、沿负梯度方向下降最快下山。

紧接着通过表格（如图2）归纳了梯度与方向导数的关系，为了研究梯度的方向，提出了等值线的概念，即梯度是等值线上一法向量，且从低等值线指向高等值线。最后给出梯度在地理、自然科学、不同学科领域上的应用。

五、评估与考核

课堂教学中发现，学生的反应与自己的预想还是有一定的差距。比如得到方向导数在什么时候最大时，对应的函数值变化部分学生还是很茫然，无法快速给出答案。经了解实际情况，原因是学生还没有真正掌握方向导数的实质，从而无法将方向导数与函数值的变化联系在一起。这个现象说明了教学中关注学生的认知基础是成功实施课堂教学的前提。

课堂实施过程中，虽然在形式上没有将知识直接抛给学生，都是通过一系列的问题进行教学，但是留给学生思考的时间不多，整堂课下来，部分学生没有跟上教师的思维，学生缺少思辨。可在雨课堂中设置对应的练习题考察学生的掌握情况。

最后，本堂课虽然两次利用了数形结合思想（方向导数何时最大、梯度方向探究），但在课上未做过多强调。在将二元函数推广至三元函数时，可以强调这种类比思想正是线性代数以及许多学科中常常用到的。

《梯度》是同济大学第七版《高等数学》教材第九章第七节——方向导数与梯度的第二部分内容。前面学习了方向导数的定义、计算、应用，这些知识为学习梯度起到了关键性的作用。通过本节知识的学习，既加深了学生对方向导数的理解，又为学生学习大学物理奠定了理论基础，起到了承上启下的作用。本堂课主要基于“O-LIS-E”的课程思政教学设计模型进行教学，打破课本中的演绎模式，通过问题设计，自然地给出梯度及等值线的概念，符合学生的认知规律。并结合思政元素，内容的深度和广度都有加强。

参考文献：

1. [1] 李侃侃, 王磊, 张晶, 等. 基于O-LIS-E的课程思政教学设计模型探索[J]. 高等农业教育,2023(04):105-112.
2. [2] 刘轩溢. “O-LIS-E”教学设计下课堂案例的导入与测评研究——以新闻类专业《视听语言》课程为例[J]. 艺术教育,2024(05):116-118.
3. [3] 李侃侃, 唐英. 基于 O-LIS-E 的农林院校课程思政建设有效途径探索——以风景资源与文化遗产保护课程为例[J]. 大学,2025(18):101-104.