引言

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面，其中数学建模是衔接抽象数学与真实世界的关键纽带。项目式学习作为“做中学”理念的典型实践模式，强调以学生为中心，以真实问题为载体，引导学生在任务驱动下经历完整的探究过程，与数学建模能力的培养具有内在的逻辑同构性。在华师版七年级下册教材中，“5.3实践与探索”是一元一次方程应用的深化，通常包含销售盈亏、行程问题、等积变形等内容。这些内容都来源于现实问题，是培养学生数学模型思想的“试验田”。但在实际教学中，教学常被窄化为“应用题训练”，学生机械套用“设—列—解—答”，缺乏从真实情境中抽象数学关系的完整体验。教师也难以精准预设数学核心素养与教学内容的孕育点和生长点，难以促进学生数学核心素养的连续性和阶段性发展，同时，学生没有经历收集数据、调研的过程，对情境的现实意义缺乏体验。而项目式学习的核心特征——真实性、问题导向性、协作性、成果展示性——恰好对应数学建模能力培养的内在需求。本文以“5.3实践与探索”中的销售盈亏问题为例，设计一个“校园爱心义卖中的盈亏”的微项目，让学生在“校园义卖”的真实情境中经历数据调研、模型建立、方案优化、结果检验的全过程，实现数学建模素养的落地。

一、核心概念概述

（一）项目式学习内涵及特征

项目式学习是依据教育目标和教学内容，通过教师设计实施一个完整的项目而进行的学习活动。它强调由实际教学出发，通过项目问题的生成、探究、解决、运用来培养学生的创新精神和实践能力，注重核心素养的全面提升。项目式学习具有以下核心特征：第一，真实性与实践性。项目式学习要求将学生融入真实的情境中，亲自调研、收集资料、分析研究，将理论知识与实际问题紧密结合。第二，学生中心与自主建构。项目式学习以学生的发展为本，学生在项目中自主地进行知识建构，在现实情境中自主生成知识，教师则从知识传授者转变为学习引导者。第三，问题导向与深度探究。学生在解决问题的过程中，需要从烦琐的题干中发现重要条件，将有效因素与无关因素抽离，形成完整的解题框架，这一过程正是深度学习的具体体现。第四，成果导向与综合发展。项目式学习最终指向可见的成果，学生在展示交流中深化理解、反思提升。

（二）数学建模能力

数学建模能力是数学核心素养的重要组成部分。数学建模是一种进行数学学习的工具，它将生活中实际问题的数学部分抽离，拿到数学项目研究中，对问题进行本质的思考。基于布鲁姆认知目标分类理论，数学建模能力可划分为四个递进维度。问题理解能力是数学建模的起点，学生能从实际情境中提取关键信息，准确理解问题的核心要求和变量间的关系。模型构建能力是数学建模的核心，学生基于对问题的理解将实际情境抽象为数学模型，这一能力要求学生综合运用现有数学知识，建立方程、函数等合适的数学表达式，以描述问题的逻辑结构。模型求解能力是学生利用数学方法和技术对已建立的模型进行操作和求解的能力，强调对数学工具的灵活运用。学生在完成模型求解后，能将结果与实际情况对照，评估结果的合理性、准确性和适用性，这个过程体现的是学生的结果检验能力，通过“反思—优化”的循环过程，实现从具象到抽象的思维升华。

项目式学习为数学建模提供了真实情境的土壤和完整过程的载体，数学建模则是“项目式学习在数学学科中的思维内核”和“能力主线”。将二者融合，让学生在“做项目”中“学建模”，既能克服传统应用题教学的“去情境化”弊端，又能使项目式学习避免流于形式而真正触及数学思维的本质。

二、实施路径

本文以华师版七年级下册教材“5.3实践与探索”中的销售问题为例，设计“校园义卖盈亏决策”微项目，从项目准备、方案设计、项目实施、展示交流四个阶段依次展开。

（一）项目准备

项目设计初期是培养学生数学建模能力的逻辑起点，其核心任务是通过科学分析学情与设定适切目标，为后续教学活动搭建支架。

1. 学习者特征分析

七年级学生正处于具体运算思维向形式运算思维过渡的阶段。在认知基础上，学生已掌握一元一次方程的基本解法，能够完成“设—列—解—答”的标准流程，但对于“进价、售价、利润率”等经济生活中的变量关系缺乏系统性认知，难以自主从真实情境中抽象出数学关系。在思维特征上，部分学生处理多个变量时容易陷入碎片化思考，面对复杂情境往往无从下手。在兴趣点上，学生对“义卖”“赚钱”等实践活动兴趣浓厚，对生活化、可视化的任务参与积极性高，这为项目式学习的开展提供了良好的情感基础。

2. 学习目标设定

紧扣数学建模能力的四个维度，结合《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，制定以下分层目标：从知识维度出发，理解进价、售价、利润、利润率等经济概念，能根据“总利润=单件利润×销量”建立一元一次方程模型；从能力维度出发，能从义卖情境中提取关键变量，即进价、售价、销量、成本上限，理解变量间的约束关系，运用方程求解并检验结果的合理性；从素养维度出发，在问题理解阶段培养数学抽象、数据分析素养，在模型构建阶段培养数学建模、逻辑推理素养，在模型求解阶段培养数学运算、直观想象素养，在结果检验阶段培养批判性思维与反思能力。

（二）方案设计

在项目方案设计中，教师以培养学生数学建模能力为目标，构建情境、任务、资源一体化的实施框架，将抽象的建模过程转化为学生可操作的实践活动，并通过逻辑严密的问题串引导学生逐步开展。

本方案以“校园义卖盈亏决策”为项目载体，围绕核心问题：“学校即将举办爱心义卖，我们班承包一个摊位，有200元启动资金，要求最终利润不低于100元。作为销售策划团队，你们需要设计进货与定价方案，确保达到利润目标”，激发学生探究兴趣；进而通过“批发市场的商品价格是多少”“如何用数学式子表示利润与成本的关系”等子问题，引导学生经历从现象观察到数学抽象的思维转换；最后以“如果遇到下雨天或整盒购买的约束，方案如何调整”的追问，推动学生走向模型优化与反思。为支撑这一探究过程，方案将项目分解为四个结构化子任务——数据调研、模型初建、模型求解、模型检验与优化，并整合调研记录表、Excel辅助计算工具等资源，使学生在真实数据的收集与处理中逐步抽象出变量关系，在整数约束等现实条件的引入中深化对模型合理性的理解，从而在“做项目”的过程中完整经历从问题理解到结果检验的数学建模全周期。

（三）项目启动

项目正式启动阶段是学生经历完整建模过程的核心环节。教师通过情境创设、分组协作、递进追问，引导学生将现实问题转化为数学模型并求解验证。

1. 情境创设与问题呈现

项目式学习要将学生融入真实的情境中，在完成任务的过程中让学生积极地深度学习。课堂伊始，教师通过多媒体呈现义卖现场图片，介绍项目背景：“这是去年我校义卖活动的照片，有的班级赚了钱，有的班级却亏了本。今年轮到我们班了，大家想不想设计一个稳赚不赔的方案？”以此激发学生的参与热情。随后，教师展示一组学生调研数据的散点图，引导学生观察“售价—销量”的可能关系：“当售价为3元时，预计能卖30支；售价每降低0.2元，销量可能增加5支。你能用数学式子描述这种关系吗？”这一设计旨在让学生从“形”的特征感知变量关系，培养直观想象素养。

2. 分组协作与角色分工

小组组建是项目式学习顺利实施的关键保障。遵循“异质均衡、动态适配”原则，每组4—5人，设置以下角色：数据专员、模型建构师、检验员、技术员。数据专员负责整理调研数据，估算不同商品的销量范围；模型建构师负责列出方程或不等式，表达变量间的关系；检验员负责将计算结果代入现实情境，检查是否超出成本或销量限制；技术员负责用Excel或GeoGebra辅助计算和绘图，呈现可视化结果。通过明确的分工，确保每名学生均能经历完整的建模环节，避免“搭便车”现象。

3.递进追问与思维深化

在学生初步建立模型后，教师通过递进式追问引导学生深化思考。

第一层：“如果只卖一种商品——中性笔，进价2元，售价3元，成本200元，最大利润是多少？需要进多少支？”，学生可列出方程，代入求解，发现需要100支，但成本只需200元，利润正好100元，初步达标；第二层：“如果同时卖中性笔和笔记本，进价分别为2元和5元，售价分别为3元和8元，成本200元，如何组合利润最高？”，学生需要建立约束条件，利润，通过枚举或试算找出最优组合；第三层：“如果批发商要求中性笔必须整盒买，一盒10支，笔记本必须整包买，一包5本，模型怎么调整？”，引入整数约束，学生发现需要调整方案，有些组合虽然数学上最优，但现实中不可行；第四层：“为什么降价能多卖？这背后有什么经济学原理？”，引导学生联系“需求定律”，用数学语言描述“价格—销量”关系，培养跨学科思维。

这一系列追问让学生在数学建模中体会生活中数学的实质性问题，加强学生的思维能力。

4. 信息技术赋能建模

在模型求解环节，学生分组运用Excel计算不同方案的总利润，部分小组尝试用GeoGebra绘制“售价—利润”关系图，直观看出最优定价区间。

（四）展示交流：反思深化

项目展示与交流是项目式学习的重要环节，旨在通过成果分享与小组互动进一步巩固和深化学习。每组提交一份《义卖方案说明书》进行成果展示，包含以下内容：进货清单、成本核算表、预期利润计算过程及结果、风险应对预案。课堂上，每组用3分钟阐述核心内容，重点说明：“我们假设了什么？建立了什么方程？算出了什么结果？如果实际情况有变，我们的方案如何调整？”这一要求直指数学建模的“假设”与“检验”环节，是传统应用题教学最易缺失的部分。展示结束后，进入小组间的交流与评价环节。其他小组成员针对展示内容提问，如：“你们的销量预测依据是什么？”“如果隔壁班也在卖同样的东西，你们的方案还可行吗？”“为什么选择这两种商品组合，有没有考虑过其他组合？”展示小组现场解答，通过互动进一步明确方案的优势与局限。这种基于问题的深度互动，不仅能拓展学生的思考维度，还能激发学习积极性，提升分析表达能力和数学建模能力。教师从数学建模能力的四个维度对各组表现进行点评，从问题理解角度，“是否准确把握了成本、利润、销量等核心变量？”；从模型构建角度，“方程或不等式是否准确表达了变量关系？”；从模型求解角度，“计算是否正确？是否考虑了整数约束等现实条件？”；从结果检验角度，“是否反思了模型的局限性？是否提出了应对预案？”。同时，借鉴汤向明等的“连续性发展”评价思想，制作简易观察量表，动态评估学生在各阶段的素养表现，为后续教学改进提供依据。教师鼓励学有余力的小组将研究成果撰写成简短数学小论文，如《最优义卖方案的数学原理》《定价策略中的方程思想》等。通过成果拓展，将项目学习延伸到课外，进一步巩固学习效果。

通过以上四个阶段的教学实践，学生在“校园义卖”的真实情境中完整经历了“问题理解—模型构建—模型求解—结果检验”的数学建模全过程。

三、结语与反思

在初中项目式学习中，教师通过问题链引导学生，促进学生数学建模能力的递进发展，学生在数据调研中提升问题理解能力，在方程构建中完成从算术思维到代数思维的跃迁，在现实约束引入中深化结果检验意识，从而实现项目式学习与学科育人的有机融合。未来可在更多内容领域开展类似实践，开发序列化PBL数学建模案例库，推动项目式学习从偶发性探索走向常态化实施，真正落实数学核心素养的培养目标。

参考文献：

1. [1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2022.
2. [2] 戚嘉伟.初中数学项目式学习培养学生数学建模能力探究——以“用一元一次方程解决问题”为例[J].教育观察,2025,14(11):78-81.
3. [3] 李洪忠.基于数学核心素养培育的项目式学习研究[J].中国教育学刊,2019(12):76-78.
4. [4] 汤向明,黄立,黄玫婷.借助项目式学习发展学生数学核心素养——以“建立函数模型探究气温变化问题”为例[J].教育评论,2022(05):149-153.