新经济研究
Journal of New Economic Studies
- 主办单位:未來中國國際出版集團有限公司
- ISSN:3079-3416（P）
- ISSN:3079-9589（O）
- 期刊分类:经济管理
- 出版周期:月刊
- 投稿量:2
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基于卡玛比率的投资组合优化实证研究
Empirical Research on Portfolio Optimization Based on Calmar Ratio Maximization
引言
现代投资组合理论的核心在于通过合理的资产配置，在控制风险的前提下实现收益最大化。自Markowitz（1952）提出均值-方差模型以来，投资组合优化逐渐从理论走向实践。卡玛比率作为聚焦下行风险的绩效指标，由Young（1991）首次系统阐述，直接以年化收益率与最大回撤的比值衡量组合性价比，更贴合投资者对回撤控制的实际需求。非线性规划作为处理非凸、非光滑优化问题的重要工具，因其适配性强、求解稳定，在资产配置中具有广泛的应用前景。
然而，现实中投资者往往面临多目标决策问题：既要追求高收益，又需严控组合回撤，同时还要兼顾策略稳健性与实操可行性。传统以收益最大化为目标的配置模型往往忽视回撤风险，容易导致组合在市场调整阶段出现大幅亏损。卡玛比率最大化模型则通过引入最大回撤约束，在收益与下行风险之间寻求平衡，更符合现代投资管理的实际需求。
本研究基于四类资产的历史交易数据，系统构建卡玛比率最大化的非线性规划优化模型，通过数值求解与量化回测验证其效果。研究旨在为投资者提供一种科学、系统的资产配置方法，同时探讨卡玛比率优化模型在实际应用中的适用性与局限性。
一、文献综述
投资组合优化研究始于Markowitz（1952）提出的均值-方差模型，该模型首次将风险量化为收益的方差，并通过有效前沿刻画最优风险-收益组合。在此基础上，Young（1991）提出卡玛比率，将最大回撤作为核心风险度量，推动了下行风险调整收益理论的发展。卡玛比率已成为衡量策略稳健性、评估资产配置效果的重要标准。
非线性规划在投资组合优化中的应用可追溯至20世纪90年代。由于最大回撤依赖净值路径、具有非光滑与非凸特性，卡玛比率最大化无法通过线性方法直接求解，非线性规划、内点法等数值算法成为主流工具。这类方法可有效处理非凸目标与复杂约束，在回撤控制、风险预算等问题中表现突出。
近年来，随着量化投资的发展，非线性优化、回测验证、实盘适配等方法在投资组合优化中得到广泛应用。尤其是卡玛比率最大化问题，常通过非线性内点法、序列二次规划等现代优化技术进行求解。然而，多数研究侧重理论算法改进，结合实盘量化终端进行回测验证的实证分析仍相对有限。
总体来看，现有研究多集中于理论模型构建与数值算法改进，对实际投资场景中卡玛比率优化与量化回测的结合分析仍显不足。本研究试图在这一方面进行补充，通过实证数据与回测验证卡玛比率最大化模型的实际效果。
二、研究设计
（一）数据来源与处理
本研究选取四类资产的每日资产总值作为原始数据，样本区间覆盖连续127个交易日。四类资产分别记为 。为消除不同资产初始规模差异，对每类资产进行净值标准化处理：
其中，为第i类资产第t日的资产总值，为首日资产总值。处理后四类资产首日净值均为1.0000。
| 资产 | 首日资产总值 |
|---|---|
| 958645.2811 | |
| 980006 | |
| 867347.1589 | |
| 989123.2929 |
最大回撤采用历史净值路径计算，无风险利率不纳入卡玛比率核心计算，以回撤为核心风险指标。
（二）变量定义与组合构建
设最优配置权重向量为 ，满足：
1. 非负约束：
2. 全额投资约束：
（三）卡玛比率计算步骤
第一步：计算每日回撤
每日回撤衡量当日组合净值相对于历史最高净值的回落幅度：
该指标取值非正，数值越小表示回撤程度越深。在Excel中，历史最高净值使用公式=MAX($F$2:F2)逐日计算，每日回撤使用公式按照（F2/历史最高净值-1）计算。
第二步：提取最大回撤
在Excel中，最大回撤使用公式=MIN(每日回撤列)计算。
第三步：计算年化收益率
将总收益率按实际交易天数折算为年化收益率（假设一年252个交易日）：
其 为样本期内实际交易天数， 为期初标准化净值。在Excel中，年化收益率使用公式=(期末净值/1)^(252/127)-1计算。
第四步：计算卡玛比率
该比率表示组合每承担1%的最大回撤所获得的年化收益率补偿。
（四）优化模型构建
目标函数：
约束条件：
（五）求解方法与参数设置
由于最大回撤依赖于净值路径的历史极值，目标函数具有非光滑与非凸特性，无法求得解析解。本研究采用非线性内点法进行数值求解，该算法通过引入障碍函数处理不等式约束，在可行域内部迭代寻优。求解参数设置如下：
求解引擎：非线性内点法
迭代次数：110次
收敛容差：0.0001
初始权重：等权（各0.25）
三、实证结果
（一）等权组合基础绩效
首先计算等权配置下的组合绩效，作为优化基准。将 代入公式(2)-(6)，得到：
| 指标 | 数值 |
|---|---|
| 组合期末净值 | 1.6949 |
| 总收益率 | 69.49% |
| 年化收益率 | 57.69% |
| 最大回撤 | -3.17% |
| 卡玛比率 | 18.19 |
（二）规划求解最优权重配置
经110次迭代后算法收敛，得到最优权重如表3所示。
| 资产 | 最优权重 |
|---|---|
| 0.1201 | |
| 0.4288 | |
| 0.4511 | |
| 0.0000 | |
| 合计 | 1.0000 |
权重分布显示：占比最高（45.11%），次之（42.88%），为辅助（12.01%），被完全剔除。
（三）掘金量化终端回测验证
将上述最优权重配置导入掘金量化终端，基于样本期内127个交易日的日度净值数据进行历史回测。回测结果如表4所示。
| 绩效指标 | 回测结果 |
|---|---|
| 期初资产 | 1,000,000.00元 |
| 期末资金 | 1,260,327.63元 |
| 累计收益率 | 26.03% |
| 年化收益率 | 57.69% |
| 最大回撤 | -3.17% |
| 卡玛比率 | 18.19 |
| 年化波动率 | 11.54% |
| 胜率 | 63.85% |
| 交易天数 | 127 |
回测结果表明，最优权重组合在样本期内实现了卡玛比率18.19，年化收益达57.69%，最大回撤仅-3.17%。
（四）掘金量化终端回测图表
从回测结果可以看出，最优组合在127个交易日内实现了26.03%的累计收益，年化收益率57.69%，最大回撤控制在-3.17%的较低水平，卡玛比率达到18.19。整体走势验证了卡玛比率最大化策略在控制下行风险方面的有效性。
四、讨论与分析
（一）模型比较分析
收益最大化模型仅追求收益率最优，会导致单一资产集中配置，完全忽视回撤风险，实践中极易出现大幅亏损。卡玛比率最大化模型将最大回撤作为核心约束，在数学框架内实现收益与下行风险的综合权衡。
本研究实证结果显示，最优组合年化收益率57.69%、最大回撤仅-3.17%、卡玛比率18.19，在严控下行风险的同时保持稳健收益。非线性内点法可稳定收敛，适配卡玛比率非凸优化特性，回测数据与理论值完全闭合，模型具备实操价值。
（二）权重分配合理性
最优权重中 （45.11%）与 （42.88%）占比近88%，核心原因在于二者收益-回撤匹配度最优：回撤控制稳健，收益表现突出，且二者回撤时点错位，组合后最大回撤被显著压低。提供边际平滑，因协同性差被优化剔除，权重分配符合风险分散与效率优先原则。
（三）方法论局限
本研究样本周期仅127个交易日，未覆盖完整牛熊周期；未考虑交易成本、冲击成本与流动性约束；优化过程基于样本内数据，存在一定过拟合可能。未来可引入滚动窗口、样本外验证与实盘成本约束，提升模型普适性。
五、结论与建议
（一）研究结论
1. 卡玛比率最大化非线性规划模型可有效平衡收益与下行风险，最优权重为 =12.01%、=42.88%、=45.11%、=0。
2. 非线性内点法可在110次迭代内稳定收敛，适用于卡玛比率非凸优化问题。
3.该模型可为投资者提供以回撤控制为核心的科学资产配置工具。
（二）实践建议
1. 优先采用卡玛比率作为策略筛选与组合评价核心指标，聚焦下行风险控制。
2.采用“先筛选、后优化”流程：先剔除低效资产，再对优质资产进行权重优化。
3. 建立定期再平衡机制，滚动更新数据与权重，提升组合市场适应性。
（三）未来研究方向
1. 引入滚动时间窗口，开展样本外回测，检验策略稳健性。
2. 纳入交易成本、流动性等现实约束，贴近实盘投资场景。
3. 拓展至多目标优化，兼顾收益、回撤、波动率等多维指标。
参考文献：
- [1] Markowitz H M. Portfolio selection[J]. The journal of finance,1952,7(01):77-91.
- [2] Boyd S, Van Denberghe L. Convex optimization[M]. Cambridge: Cambridge University Press,2004.
- [3] 谢忱宇. 基于LSTM神经网络模型的因子选股策略研究[J]. 辽宁大学学报，2020(01):45-52.
- [4] 汪洁. 基于深度时空图学习的股票投资组合优化研究[D]. 南京信息工程大学，2025.
- [5] 杨远洲. 基于机器学习的多因子量化选股策略研究[J]. 西安理工大学学报，2025(04):78-86.