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科学研究与应用

科学研究与应用

Journal of Scientific Research and Applications

  • 主办单位: 
    未來中國國際出版集團有限公司
  • ISSN: 
    3079-7071（P）
  • ISSN: 
    3080-0757（O）
  • 期刊分类: 
    科学技术
  • 出版周期: 
    月刊
  • 投稿量: 
    6
  • 浏览量: 
    990

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红外干涉法结合智能优化反演碳化硅外延层厚度

Inversion of Silicon Carbide Epitaxial Layer Thickness via Infrared Interferometry and Intelligent Optimization

发布时间：2026-08-04
作者: 连子轩 :中南大学计算机学院 湖南长沙; LIAN Zixuan :School of Computer Science, Central South University, Changsha;
摘要: 碳化硅外延层厚度是影响器件性能的关键参数，其精确测量对材料制备与器件优化至关重要。本文针对红外干涉法测量碳化硅外延层厚度问题，建立了基于多光束干涉理论和智能优化算法的完整反演模型。首先，基于单次反射红外干涉原理和Drude载流子色散模型，建立了外延层厚度与干涉极值点波长、载流子浓度之间的非线性方程。其次，针对载流子浓度未知的困难，采用粒子群优化算法（PSO）进行全局参数反演，在10°和15°入射角下分别得到厚度10.3308 μm和10.3304 μm，与传统相邻条纹间隔法相比误差约2.5%，多次运行相对标准差仅0.08%，展现了优异的稳定性。进一步，从物理机理出发推导了多光束Airy反射率公式，给出了多光束干涉的四个必要条件，并通过快速傅里叶变换频谱分析验证了硅片和碳化硅片均满足多光束干涉条件。采用模拟退火算法（SA）基于Airy公式进行全局优化，分别得到硅外延层厚度4.623 μm和修正后碳化硅外延层厚度10.043 μm，有效消除了双光束模型忽略高阶反射引入的系统误差。本文建立的模型为半导体外延层厚度的精确无损测量提供了新的技术途径。
Abstract: The thickness of silicon carbide (SiC) epitaxial layer is a critical parameter affecting device performance, and its accurate measurement is essential for material preparation and device optimization. This paper establishes a comprehensive inversion model based on multi-beam interference theory and intelligent optimization algorithms for measuring SiC epitaxial layer thickness via infrared interferometry. First, based on the single-reflection infrared interference principle and the Drude carrier dispersion model, a nonlinear equation relating the epitaxial layer thickness to the interference extremum wavelengths and carrier concentration is formulated. To address the unknown carrier concentration, a particle swarm optimization (PSO) algorithm is employed for global parameter inversion, yielding thickness values of 10.3308 μm and 10.3304 μm at incidence angles of 10° and 15°, respectively. Compared with the traditional adjacent fringe interval method, the relative error is approximately 2.5%, and the relative standard deviation over multiple runs is only 0.08%, demonstrating excellent stability. Furthermore, the Airy reflectance formula for multi-beam interference is rigorously derived, and four necessary conditions for multi-beam interference are established. Fast Fourier transform spectrum analysis confirms that both the silicon and SiC samples satisfy these conditions. A simulated annealing (SA) algorithm is then adopted for global optimization based on the Airy formula, yielding a silicon epitaxial layer thickness of 4.623 μm and a corrected SiC thickness of 10.043 μm, effectively eliminating the systematic errors introduced by the double-beam model. The proposed method provides a novel technical approach for accurate non-destructive measurement of semiconductor epitaxial layer thickness.
关键词: 红外干涉；外延层厚度；粒子群算法；快速傅里叶变换；模拟退火；多光束干涉
Keywords: infrared interferometry; epitaxial layer thickness; particle swarm optimization; fast fourier transform; simulated annealing; multi-beam interference

引言

碳化硅（SiC）作为第三代宿禁带半导体材料，因其高临界击穿电场、高热导率、高载流子饱和漂移速度等优越性能，在高温、高频、大功率电子器件领域展现出广阔的应用前景。在SiC器件制造过程中，外延层是器件结构中的核心功能层，其厚度直接决定了器件的击穿电压、导通电阻等关键电学参数。因此，外延层厚度的精确测量对于材料质量评估和器件性能优化具有重要意义。

红外干涉法作为一种无损检测技术，利用外延层与衬底因掺杂浓度差异导致的折射率不同，使入射红外光在两界面处产生反射光并形成干涉条纹。通过分析干涉光谱即可反演出外延层厚度。该方法具有非接触、无损伤、可在线检测等优点，已成为半导体外延层厚度测量的重要手段。然而，传统双光束干涉模型忽略了外延层内多次反射的高阶光束贡献，在高反射率、低吸收的材料体系中会引入不可忽略的系统误差。

1 研究概述

1.1 国内外研究现状

马格林对SiC外延材料质量评估方法进行了系统研究。刘玉岭等和朱作云等对硅外延层厚度一致性问题开展了实验研究。近年来，张雯等将多光束干涉光纤法应用于压力传感测量。在群智能优化领域，刘浩系统研究了群智能优化算法在自适应光学中的应用。在色散模型方面，王三昭等基于Drude模型对薄膜性能进行了分析；蒋和伦等 研究了Drude-Lorentz色散模型中光学Tamm态的性质。然而，将红外干涉法与智能优化算法相结合用于SiC外延层厚度反演的研究仍较少见。

1.2 本文工作

本文围绕碳化硅外延层厚度的高精度测量问题，从物理模型和智能算法两个层面展开研究，主要工作包括：（1）基于单次反射红外干涉原理，结合Drude载流子色散模型，建立了外延层厚度与干涉极值点波长、载流子浓度之间的非线性关系式。（2）针对载流子浓度未知的参数反演难题，采用粒子群优化算法进行全局寻优，实现了厚度与浓度的同步反演。（3）从多光束干涉的物理机理出发，推导了Airy反射率公式，给出了多光束干涉的必要条件，并通过FFT频谱分析对实验数据进行了判别。（4）采用基于Airy公式的模拟退火算法优化硅和碳化硅外延层厚度，消除了双光束模型的系统误差。

2 理论与方法

2.1 光学干涉理论

2.1.1 双光束干涉模型

当红外光入射到外延层结构时，在空气-外延层界面和外延层-衬底界面处发生反射和折射，形成两束主要反射光。如图1所示，入射光在A点分为反射光R1和折射光。折射光在外延层中传播至B点（外延层-衬底界面），其反射光传播至C点后折射回空气形成反射光R2。

图1
图 1 红外光路图

根据折射定律，入射光从空气进入外延层满足：

\(n_{0}\sin\theta_{0} = n_{1}\sin\theta_{1}\)

两束反射光的光程差由几何光程差决定。反射光R2在外延层中往返传播的等效几何光程差为：

\(\Delta = n_{1} \cdot (AB + BC) = \frac{2n_{1}d}{\cos\theta_{1}}\)

由于两界面反射均涉及从光疏到光密介质的半波损失，附加光程差相互抵消，总光程差完全由几何光程差决定。干涉明纹和暗纹的条件分别为：

\(\begin{aligned} 2n_{1}d\cos\theta_{1} & = k\lambda,\quad k = 0,1,2,\ldots,n \\ 2n_{1}d\cos\theta_{1} & = \left( k + \frac{1}{2} \right)\lambda,\quad k = 0,1,2,\ldots,n \end{aligned}\)

2.1.2 Drude载流子色散模型

掺杂半导体的折射率并非定常值，自由载流子在外加电磁场作用下的响应会显著改变材料在红外波段的光学性质，此即载流子色散效应。Drude模型将自由载流子视为受阻尼力驱动的“电子气”，其复介电函数为：

\(\epsilon(\omega) = \epsilon_{\infty} - \frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2} + i\omega/\tau}\)

其中，ε∞为高频介电常数（本征碳化硅取ε∞ = n₀²，n₀ ≈ 2.6），τ为载流子弛时间，等离子体频率ωp定义为：

\(\omega_{p} = \sqrt{\frac{Ne^{2}}{\epsilon_{0}m^{\ast}}}\)

在红外波段（1~20 μm）且载流子浓度N在10¹⁵~10¹⁹ cm⁻³范围内，通常满足ω ≫ 1/τ，介电函数虚部可忽略，实部简化为：

\(\epsilon_{1}(\omega) = \epsilon_{\infty} - \frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}\)

折射率由n₁ ≈ √ε₁给出，代入ω = 2πc/λ可得：

\(n_{1}(\lambda,N) = \sqrt{n_{0}^{2} - \frac{Ne^{2}}{4\pi^{2}\epsilon_{0}m^{\ast}c^{2}}\,\lambda^{2}}\)
图 2 外延层变化

2.1.3 外延层厚度表达式

联立干涉条件（3）和折射率表达式（8），可得外延层厚度的完整表达式。其中\(\cos\theta_{1} = \sqrt{1 - \sin^{2}\theta_{0}/n_{1}^{2}}\)。对于明纹：

\(d = \frac{k\lambda}{2n_{1}(\lambda,N) \cdot \sqrt{1 - \sin^{2}\theta_{0}/n_{1}^{2}(\lambda,N)}}\)

对于暗纹：

\(d = \frac{(k + 1/2)\lambda}{2n_{1}(\lambda,N) \cdot \sqrt{1 - \sin^{2}\theta_{0}/n_{1}^{2}(\lambda,N)}}\)

2.2 多光束干涉理论

在实际的多层膜结构中，光波可在两个界面间发生多次反射和透射，产生一系列反射光束，形成多光束干涉。如图3所示。

图 3 多光束干涉光路图

2.2.1 菲涅尔系数与相位差

定义空气（\(n_{0}\)）、外延层（\({\widetilde{n}}_{1} = n_{1} - i\kappa_{1}\)）、衬底（\({\widetilde{n}}_{2} = n_{2} - i\kappa_{2}\)）三层结构。 空气-外延层界面和外延层-衬底界面的振幅反射系数分别为：

\(r_{01} = \frac{{\widetilde{n}}_{0} - {\widetilde{n}}_{1}}{{\widetilde{n}}_{0} + {\widetilde{n}}_{1}},\quad\quad r_{12} = \frac{{\widetilde{n}}_{1} - {\widetilde{n}}_{2}}{{\widetilde{n}}_{1} + {\widetilde{n}}_{2}}\)

光在外延层中往返一次的相位差为：

\(\delta = \frac{4\pi}{\lambda}\,{\widetilde{n}}_{1}d\cos\theta_{1}\)

振幅衰减因子由虚部\(\kappa_{1}\)决定：

\(A(\sigma) = exp\left( - \frac{4\pi\kappa_{1}d\sigma}{\cos\theta_{1}} \right)\)

2.2.2 Airy反射率公式

将各阶反射光束的振幅叠加，利用斯托克斯倒逆关系\(t_{01}t_{10} = 1 - r_{01}^{2}\)， 可推导出多光束干涉的总反射系数和反射率分别为：

\(\begin{aligned} r_{\text{total}}(\sigma) & = \frac{r_{01} + r_{12}A(\sigma)e^{i\delta(\sigma)}}{1 + r_{01}r_{12}A(\sigma)e^{i\delta(\sigma)}} \\ R_{\text{Airy}}(\sigma) & = \frac{r_{01}^{2} + r_{12}^{2}A^{2} + 2r_{01}r_{12}A\cos\delta}{1 + r_{01}^{2}r_{12}^{2}A^{2} + 2r_{01}r_{12}A\cos\delta} \end{aligned}\)

作为对比，双光束干涉模型忽略高阶反射和吸收衰减，其反射率公式为：

\(R_{\text{double}}(\sigma) = r_{01}^{2} + r_{12}^{2} + 2r_{01}r_{12}\cos\delta\)

多光束干涉引入了分母项，使得干涉条纹更加锐利，条纹对比度更高。

2.2.3 多光束干涉的必要条件

从Airy公式出发，多光束干涉显著存在的必要条件归纳如下：

（1）界面反射率足够高。高阶反射光束的振幅需达到总振幅的3%\(\sim\)5%以上，即需满足：

\(\sqrt{R_{01}R_{12}} \cdot A(\sigma) \geq 3\%\)

（2）光源具有良好的相干性。光源相干长度\(L_{c}\)需大于最大有效光程差：

\(L_{c} \geq 2n_{1}d\cos\theta_{1}\)

（3）光学厚度与波长量级相当。若厚度远小于波长，相位差\(\delta \rightarrow 0\)，干涉效应减弱； 若厚度远大于波长，条纹过于密集超出光谱仪分辨极限。最有利于观测的情形为：

\(n_{1}d \sim \lambda\)

（4）材料吸收微弱。复折射率虚部需满足：

\(\kappa_{1}d \ll 1\)

四个条件共同决定了多光束干涉能否在实际测量中显著出现。

3 问题一：基于PSO算法的厚度反演

3.1 数据预处理

对附件1和附件2提供的碳化硅波数与反射率数据进行预处理。采用突出度峰值检测算法提取干涉明纹极值点波长，结果如图4和图5所示。

图 4 不同入射角下碳化硅反射率随波长变化曲线
图 5 极值点提取结果
表1 明纹极值点波长（单位：μm）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
10°波长/μm 3.219 3.522 3.867 4.306 4.808 5.444 6.268 7.135 8.221 10.148 12.01 15.714 24.99
15°波长/μm 3.185 3.483 3.821 4.185 4.785 5.357 6.221 7.06 8.185 10.118 12.052 15.631 24.99

3.2 粒子群优化算法

外延层载流子浓度N未知，使得厚度的求解成为一个非线性参数反演问题。采用粒子群优化算法（PSO）进行全局寻优。

3.2.1 算法设计

Step 1 参数设置：粒子维度为2，即厚度d∈[0.5,40] μm和lg N∈[15,19]；粒子数量40，最大迭代次数150；惯性权重ω线性递减：ωᵗ = 0.9 − 0.5t/150；学习因子c₁=c₂=2.0。

Step 2 初始化：在参数范围内随机生成粒子的初始位置(dₗ⁰, lgNₗ⁰)和速度(v_dₗ⁰, v_lgNₗ⁰)。

Step 3 适应度函数：对每个粒子的位置(dₗ,Nₗ)遍历所有m个明纹极值点，计算干涉级次k_{i,j}和厚度残差，目标函数为残差平方和：

\(f_{j} = \sum_{i = 1}^{m}(d_{j} - \frac{k_{i,j}\lambda_{i}}{2n_{1}\cos\theta_{1}})^{2} + \alpha \cdot \sum_{i = 2}^{m}|k_{i,j} - k_{i - 1,j} - 1|\)

其中第二项为惩罚函数，确保干涉级次连续递减。

Step 4 迭代更新：按照PSO速度-位置更新公式进行迭代。

\(\begin{aligned} v_{j}^{t} & = \omega^{t}v_{j}^{t - 1} + c_{1}r_{1}(pbest_{j} - x_{j}^{t - 1}) + c_{2}r_{2}(gbest - x_{j}^{t - 1}) \\ x_{j}^{t} & = x_{j}^{t - 1} + v_{j}^{t} \end{aligned}\)

3.2.2 计算结果

图 6 粒子群算法迭代收敛过程

3.3 相邻条纹间隔法对比验证

基于相邻明纹的干涉级次关系\(k_{i + 1} = k_{i} + 1\)，可推导出：

\(k_{i} = \frac{n_{1}(\lambda_{i + 1})\lambda_{i}}{n_{1}(\lambda_{i})\lambda_{i + 1} - n_{1}(\lambda_{i + 1})\lambda_{i}}\)

将PSO得到的最优载流子浓度代入相邻条纹间隔法，两种方法的对比结果如表2所示。

表2 两种方法计算结果对比
算法 10°厚度(μm) 15°厚度(μm) 角度间误差
粒子群算法(PSO) 10.3308 10.3304 0.00%
相邻条纹间隔法 10.101±3.563 10.042±3.585 0.59%
方法间误差 2.22% 2.80% /

可见，PSO算法在不同入射角下计算结果高度一致，表现出优异的稳定性；与传统相邻条纹间隔法相比，结果接近（误差约2.5%），验证了PSO算法的可靠性。

3.4 可靠性分析

对PSO算法进行多次独立运行，结果统计如表3所示。

表3 多次运行PSO结果统计
参数 均值 中位数 标准差 相对标准差
厚度d(μm) 10.3254 10.3255 0.0086 0.08%
载流子浓度lgN 17.1966 17.2079 1.0986 6.51%

厚度结果的均值与中位数几乎一致，相对标准差仅0.08%，说明PSO算法在厚度反演方面非常可靠。载流子浓度的相对标准差较高（6.51%），对其进行了敏感性分析，图7表明N的变化对适应度函数值几乎无影响，说明厚度反演对载流子浓度的敏感性极低。

图 7 载流子浓度参数敏感度分析

4 问题二：基于SA算法的多光束干涉优化

4.1 多光束干涉判别

4.1.1 硅晶圆片判别

对附件3和附件4提供的硅片反射光谱数据进行预处理和FFT频谱分析，结果如图8和表4所示。

图 8 硅片反射光谱FFT频谱分析
表4 FFT频谱分析结果
入射角 主峰频率f(cm) f·cosθ
10° 0.00249935 0.00246138
15° 0.00249935 0.00241419

FFT频谱主峰尖锐且幅值大，不同入射角下\(f \cdot cos\theta\)高度一致，这是多光束干涉的典型特征。 逐一验证上述四个必要条件：

条件一：\(R_{01} = 0.30\)，满足\(\sqrt{R_{01}R_{12}} \cdot A(\sigma) \geq 3\%\)。

条件二：相干长度\(L_{c} \approx 28.49\,\mu\)m，光程差\(2n_{1}d\cos\theta_{1} \approx 27.02\,\mu\)m，满足\(L_{c} \geq\)光程差。

条件三：硅外延层厚度约0.5–5\(\mu\)m，波长范围2–25\(\mu\)m，处同一量级。

条件四：\(\kappa_{1} \approx 10^{- 4}\)，\(\kappa_{1}d \approx 5 \times 10^{- 4} \ll 1\)。

综上，硅片测试结果满足多光束干涉条件。

4.1.2 碳化硅晶圆片判别

对碳化硅数据进行同样的FFT频谱分析（图9），其频谱主峰尖锐，f·cosθ稳定，表明碳化硅样品同样满足多光束干涉条件。

图 9 碳化硅FFT频谱分析

4.2 基于模拟退火算法的厚度优化

对于满足多光束干涉条件的样品，采用基于Airy公式（15）的模拟退火算法（SA）进行全局优化。目标函数定义为：

\(f(d,N) = \sum_{i = 1}^{M}\lbrack R_{\text{Airy}}(\sigma_{i};d,N) - R_{\text{exp}}(\sigma_{i})\rbrack^{2}\)

4.2.1 降温模型

采用指数降温策略：

\(T(t) = T(0) \cdot \alpha^{t}\)

4.2.2 Metropolis接受准则

对于新解\(x_{\text{new}} = (d_{\text{new}},N_{\text{new}})\)，计算目标函数差值\(\Delta f = f(x_{\text{new}}) - f(x)\)：

若\(\Delta f < 0\)，接受新解；

若\(\Delta f \geq 0\)，以概率\(P = exp( - \Delta f/T)\)接受。

4.2.3 邻域解生成

邻域搜索范围设定为：

\(\begin{aligned} d_{\text{new}} & = max(5,min(20,d_{t} + rand( - 0.5,0.5))) \\ N_{\text{new}} & = max(10^{15},min(10^{19},N_{t} + rand( - 5 \times 10^{13},5 \times 10^{13}))) \end{aligned}\)

4.3 反演结果

对硅和碳化硅样品分别进行多次SA反演，剔除异常值后的结果如表5和表6所示。

表5 硅片SA模型反演结果
参数 1 2 3 4 5 6 均值
厚度d(μm) 4.625 4.531 4.630 4.703 4.616 4.631 4.623
浓度N(10¹⁸ cm⁻³) 0.185 17.5 10.7 2.91 8.50 0.116 6.65
表6 碳化硅SA模型反演结果
参数 1 2 3 4 5 6 均值
厚度d(μm) 10.05 9.876 10.16 10.08 10.27 9.82 10.043
浓度N(10¹⁸ cm⁻³) 4.44 5.00 3.07 0.727 7.20 5.64 4.34

SA模型反演结果一致性良好，说明模型拟合效果优良。与问题二中PSO基于双光束模型的结果（10.3308 μm）相比，基于Airy公式的SA模型得到的碳化硅外延层厚度为10.043 μm，两者的差异（约2.8%）反映了采用双光束模型忽略高阶反射所引入的系统误差大小。

5 结论

本文针对碳化硅外延层厚度的精确测量问题，建立了红外干涉法与智能优化算法相结合的系统性反演模型，主要结论如下：

（1）基于单次反射红外干涉原理和Drude载流子色散模型，建立了外延层厚度与干涉极值点波长及载流子浓度的非线性关系式，为后续参数反演提供了坚实的物理基础。

（2）采用粒子群优化算法实现了外延层厚度与载流子浓度的同步反演。在10°和15°入射角下得到的厚度分别为10.3308 μm和10.3304 μm，结果高度一致，多次运行相对标准差仅0.08%，验证了算法的可靠性和稳定性。

（3）从物理机理出发推导了Airy反射率公式，给出了多光束干涉的四个必要条件（高反射率、良好相干性、光学厚度与波长量级相当、材料吸收微弱）。通过FFT频谱分析证实了硅片和碳化硅片均满足多光束干涉条件。

（4）采用基于Airy公式的模拟退火算法进行优化，得到硅外延层厚度 4.623 μm 和修正后碳化硅外延层厚度 10.043 μm。多光束模型与双光束模型的结果差异（约2.8%）体现了考虑高阶反射对提高测量精度的重要性。

本文提出的方法将物理模型与智能优化深度融合，为半导体外延层厚度的精确无损测量提供了新的技术途径，未来可进一步引入更高效的优化算法（如Levenberg-Marquardt、贝叶斯优化）和更稳健的极值点提取方法，以满足实时在线检测的需求。

参考文献：

  1. [1] 马格林. 一种新的SiC外延材料质量评估方法[D]. 西安电子科技大学, 2011.
  2. [2] 刘玉岭, 申勇, 韩毅. 硅外延层厚度一致性的实验研究[J]. 河北工学院学报, 1983 (01): 97-109.
  3. [3] 朱作云, 李跃进, 周世禄, 等. 硅外延层厚度均匀性的研究[J]. 西北电讯工程学院学报, 1988(01): 47-51.
  4. [4] 张雯, 熊洁, 李昊业, 等. 多光束干涉光纤FP探针脉动微压传感研究[J]. 仪器仪表学报, 2022, 43(07): 82-93.
  5. [5] 王三昭, 余刚, 石攀, 等. 基于Drude模型ITO薄膜性能及工艺控制分析[J]. 玻璃, 2024, 51(08): 1-6.
  6. [6] 蒋和伦, 刘启能. Drude-Lorentz色散模型研究光学Tamm态的性质[J]. 半导体光电, 2016, 37(02): 218-222.
  7. [7] 刘浩. 群智能优化算法在基于自适应光学的FSO系统中的应用研究[D]. 吉林大学, 2017.
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