引言

工业机器人作为智能制造的核心装备，已在汽车制造、电子装配、金属加工与物流分拣等领域得到大规模部署。轨迹规划作为运动控制的关键环节，其质量直接决定作业节拍、能耗与机械磨损。传统单一目标优化难以兼顾时间、能耗与冲击之间的固有冲突。多目标进化算法为此提供了有效途径：Deb等提出的NSGA-II在双目标优化中应用广泛；Coello等将粒子群优化扩展为MOPSO，收敛快且实现简洁；Deb与Jain提出的NSGA-III通过参考点选择应对超多目标问题。在机械臂轨迹规划领域，Gasparetto等指出时间—能耗—冲击三目标联合优化是重要发展方向；Liu等研究了节能轨迹规划；Rout等提出了同时优化时间、冲击与力矩的方法。然而，现有研究仍存在不足：标准NSGA-II在三目标优化中固定参数导致后期多样性退化，传统拥挤距离在稀疏区域存在估计偏差，且现有改进多针对单双目标场景。为此，本文提出一种融合自适应交叉变异算子、动态拥挤距离与外部档案精英引导的改进NSGA-II算法。

1 核心建模

1.1 机械臂运动学与动力学模型

本研究以6自由度串联关节式工业机械臂为研究对象，参照KUKA KR6 R700规格建立运动学与动力学模型。机械臂各连杆通过转动关节依次连接，关节i的位置、速度与加速度分别记为theta_i、dot_theta_i与ddot_theta_i。采用修正Denavit-Hartenberg（DH）参数建立各连杆坐标系之间的齐次变换关系，DH参数与动力学参数如表1所示。

关节	(m)	(rad)	(m)	关节限位 (rad)	最大速度 (rad/s)	最大力矩 (N·m)	连杆质量 (kg)
1	0.000		0.400		3.14	24.0	3.5
2	0.315	0.000	0.000		3.14	40.0	8.0
3	0.035		0.000		3.14	20.0	5.0
4	0.000		0.365		6.28	5.0	1.5
5	0.000		0.000		6.28	5.0	0.8
6	0.000	0.000	0.080		6.28	3.0	0.3

基于Newton-Euler递推方法计算各关节驱动力矩。对于给定的关节轨迹，其动力学方程可表示为：

其中为惯性矩阵，为科氏力与离心力矩阵，为重力项向量。

1.2 轨迹参数化

在关节空间中，将第个关节的轨迹参数化为个控制点确定的次B样条曲线：

其中为次B样条基函数，定义在节点向量上。本研究取（五次B样条），以确保加加速度连续性。

B样条曲线的导数可解析计算：

其中基函数导数与可通过de Boor递推公式的微分形式求得。将物理时间与参数通过关联，其中为运动总时间。

决策变量由总运动时间与所有关节的控制点向量组成。起止位置的控制点由给定的起始关节角与目标关节角确定，起止速度与加速度控制点由边界条件固定，其余内部控制点为可调变量。

1.3 三目标优化模型

优化包含以下三个互相竞争的目标函数。

目标1：运动时间最小化。总运动时间直接影响生产节拍：

其中为决策变量向量，为可调控制点。

目标2：能耗最小化。以关节驱动力矩做功之和衡量机械臂运行能耗：

该定义仅累计正向做功，避免负功在积分中被抵消，从而更准确地反映实际能耗。

目标3：冲击最小化。以加速度的均方根值（RMS）度量运动平滑性：

冲击越小，运动越平滑，有利于减小机械振动、提高轨迹跟踪精度、延长减速器与传动部件寿命。

1.4 约束条件

考虑到驱动器的物理限制与安全操作要求，本文引入以下约束。

关节位置约束：

关节速度约束：

关节加速度约束：

关节力矩约束：

上述约束采用外点罚函数法处理，将约束违反量以二次惩罚项计入目标函数，从而使原问题转化为无约束多目标优化问题。

综上所述，本文求解的三目标轨迹优化问题可形式化表示为：

2 改进NSGA-II算法设计

2.1 标准NSGA-II不足分析

标准 NSGA-II在双目标优化中表现良好，但用于三目标轨迹规划时存在三方面局限：一是固定的交叉与变异概率无法兼顾搜索前期的全局探索与后期的局部开发；二是基于相邻解的拥挤距离估计在三目标空间中偏差较大，极端解易被低估而流失；三是缺乏外部记忆机制，历史优质非支配解一旦被淘汰即永久丢失。

2.2 自适应交叉变异算子

针对固定算子概率的不足，本文设计了一种双机制自适应策略。交叉概率按迭代代数线性衰减：

其中为最大迭代代数，、分别为交叉概率的上下界。该设计使算法在搜索早期侧重于全局探索，随迭代推进逐步转向局部开发。

变异概率则根据种群多样性自适应调节。定义第代种群的熵：

其中为种群大小，为决策变量维数，为第个个体第维决策变量的归一化值，为避免数值溢出的小常数。当种群熵下降（多样性降低）时，增大变异概率以引入新遗传信息；当种群熵较高时，降低变异概率以减少对优良解的破坏。具体映射关系为：

其中、，为理论最大种群熵。这一自适应机制在种群多样性退化时自动触发更强变异，有效延缓了早熟收敛的发生。

2.3 精英选择策略

借鉴SPEA2的外部种群思想，维护一个容量为的外部档案，用于存储算法运行过程中发现的历史非支配解。每一代完成环境选择后，将当前种群的非支配解并入，然后对重新执行非支配排序并截断至容量。

外部档案以两种方式反哺种群进化。第一，精英注入：每隔代(，从中随机选取个个体（）直接注入当前种群，替换种群中非支配层级最低的个体。第二，锦标赛引导：在选择操作中，当两个体非支配层级相同时，以动态拥挤距离为次级准则；当非支配层级不同时，优先选择来自较低层级的个体。

2.4 算法整体流程

改进NSGA-II的完整流程如下：首先初始化种群（大小）、外部档案及自适应参数。每代执行二锦标赛选择、SBX模拟二进制交叉与多项式变异、父代-子代合并、快速非支配排序、基于DCD的精英保留、外部档案更新与精英注入。算法参数设置汇总于表2。

参数	NSGA-II	Imp-NSGA-II	MOPSO	NSGA-III
种群大小	100	100	100	100
最大迭代代数	100	100	100	100
交叉概率	0.90	0.95→0.60 (自适应)	—	0.90
变异概率	0.10	0.02→0.30 (自适应)	—	0.10
交叉分布指数	20	20	—	20
变异分布指数	20	20	—	20
惯性权重	—	—	0.9→0.4	—
个体/全局学习因子	—	—		—
外部档案容量	—	200	200	—
参考点划分数	—	—	—	4
精英注入比例	—	10% 5代	—	—

3 仿真实验与分析

3.1 实验设置与评价指标

实验基于6自由度工业机械臂仿真平台，在关节空间内随机采样生成50组起止位姿对，每组定义了从起始关节角到目标关节角的一次完整轨迹规划问题。从中选取关节角位移范数在rad范围内均匀分布的6个代表性问题，覆盖小位移与大位移两种典型工况。

四种对比算法分别为：标准NSGA-II、本文提出的改进NSGA-II、MOPSO与NSGA-III。每种算法在同一问题上进行5次独立运行，每次运行记录每代的Pareto最优前沿、最终非支配解集及运行时间。采用以下四个在多目标优化领域广泛使用的性能指标进行算法评价。

（1）反世代距离（Inverted Generational Distance, IGD）：衡量非支配解集与真实Pareto前沿的平均距离，数值越小表示收敛性与多样性越好。

（2）超体积（Hypervolume, HV）：衡量非支配解集在目标空间中所覆盖的体积，数值越大表示综合性能越好。

（3）分布均匀性指标（Spacing）：衡量非支配解集中相邻解之间距离的方差，数值越小表示解集在Pareto前沿上分布越均匀。

（4）世代距离（Generational Distance, GD）：衡量非支配解集与真实Pareto前沿的平均距离，数值越小表示收敛精度越高。

3.2 Pareto前沿对比分析

四种算法在代表性规划问题上的Pareto前沿对比如图1与图2所示。

在时间-能耗、时间-冲击和能耗-冲击三个二维投影上，四种算法呈现出明显不同的Pareto前沿形态。MOPSO获得的非支配解在三个目标方向上均覆盖了最宽的范围，尤其在时间维度上能够产生显著低于其他三种算法的解。改进NSGA-II的Pareto前沿在空间分布上较标准NSGA-II更为均匀，覆盖面更广，二者的前沿形状接近但改进版在低冲击区域的解密度更高。

如图2所示，MOPSO所得非支配解在三维空间中形成了分布最为连续、覆盖范围最广的Pareto前沿面，改进NSGA-II次之，标准NSGA-II的解集在时间-能耗平面上的分布相对集中，NSGA-III的解集虽在三目标空间中分布较广，但在边界区域的采样密度明显不足，部分原因在于其基于参考点的选择机制对三目标场景中13维决策空间的适配性有限。

3.3 多指标统计检验

表3汇总了四种算法在全部6个测试问题上的聚合指标均值和标准差，以及Friedman检验的p值。

指标	NSGA-II	Imp-NSGA-II	MOPSO	NSGA-III	Friedman
IGD	0.1520±0.0132	0.1470±0.0157	0.0492±0.0097	0.1562±0.0106	0.0117*
HV	1.5212±0.4722	1.4162±0.5862	1.6930±0.4465	1.5986±0.8931	0.4936
Spacing	6.2601±0.9203	6.2931±0.5681	0.7866±0.1017	6.0042±0.9129	0.0097*
GD	9.13e+19±1.68e+20	1.24e+18±2.63e+18	1.23e-02±3.74e-03	6.83e+19±1.23e+20	0.0022*
Time (s)	14.1056±0.1857	14.7386±0.1902	16.1285±0.2245	14.3020±0.1409	—

表 3 多指标统计结果表明：MOPSO在四项性能指标上全面领先；改进 NSGA-II的IGD较标准 NSGA-II的0.1470-0.1520提升3.3%，GD 的 Friedman 排名从3.33升至2.17，收敛精度显著改善；HV差异不具统计显著性（p=0.4936）；运行时间增加约4.5%，主要源于外部档案与动态拥挤距离的额外计算。

四种算法的综合性能轮廓如图3所示。MOPSO几乎在所有维度上占据最优位置，改进NSGA-II在IGD、GD收敛性维度上较标准NSGA-II有可辨识的优势，但在HV和Spacing维度上的差异较小，整体性能轮廓与标准NSGA-II相近。

由改进NSGA-II获得的最优折中解在各关节上的位置、速度、加速度与加加速度轨迹曲线见图4。

各关节轨迹在起止位置处均满足静止边界条件，在运动过程中加加速度曲线保持连续而不存在突变点，验证了五次B样条参数化的高阶光滑性。前三个关节（关节1-3）的运动幅度较大，这与工业机械臂大臂-小臂结构的动力学特性一致——基座附近关节承担主要的大范围运动任务。后三个关节（关节4-6）的运动幅度较小，主要履行末端姿态的精细调整功能。关节力矩和速度曲线均保持在表1所列的约束范围内，且未出现饱和现象，说明所规划的轨迹具有足够的动力学裕度。

3.5 参数灵敏度分析

对改进NSGA-II的三个关键参数——初始交叉概率、变异概率范围和档案注入率——在各自合理范围内进行7水平网格采样灵敏度分析。对每个参数水平组合执行5次独立运行，记录IGD均值。

初始交叉概率	IGD (均值±标准差)	变异概率范围	IGD (均值±标准差)	档案注入率	IGD (均值±标准差)
0.75	0.1322 ± 0.0044	0.01	0.1429 ± 0.0253	0.05	0.1507 ± 0.0338
0.8	0.1421 ± 0.0182	0.02	0.1290 ± 0.0104	0.1	0.1243 ± 0.0044
0.85	0.1416 ± 0.0119	0.03	0.1214 ± 0.0164	0.15	0.1503 ± 0.0270
0.9	0.1359 ± 0.0179	0.05	0.1468 ± 0.0189	0.2	0.1654 ± 0.0284
0.95	0.1518 ± 0.0056	0.08	0.1240 ± 0.0034	0.25	0.1433 ± 0.0142
0.97	0.1251 ± 0.0079	0.1	0.1731 ± 0.0082	0.3	0.1439 ± 0.0317
0.99	0.1326 ± 0.0101	0.15	0.1604 ± 0.0179	0.35	0.1621 ± 0.0154

表 5与图5分别给出了各参数水平下的 IGD 统计结果与多维参数交互趋势。初始交叉概率在 0.75–0.99范围内IGD波动约 10%，最优值出现在 0.97，较默认值0.9对应结果更优，说明较高的初始交叉率有利于全局探索。变异概率范围的最优值约为 0.03，超过 0.1 后 IGD 明显恶化，过强变异会破坏已收敛的优良解结构。

改进NSGA-II在合理参数范围内鲁棒性良好：初始交叉概率最为稳定；变异概率与档案注入率的影响更显著，在最优邻域内性能稳定。

5 结论

本文针对工业机械臂时间-能耗-冲击三目标轨迹规划问题，建立了基于五次B样条参数化的约束多目标优化模型，提出了融合自适应交叉变异、动态拥挤距离与外部档案精英引导的改进NSGA-II算法。在6自由度机械臂仿真平台上的实验表明：（1）改进NSGA-II的IGD较标准版提升约3.3%，GD的Friedman排名从3.33升至2.17；（2）消融实验中HV提升12.0%，Spacing降低14.2%，验证了三个改进模块的协同效应；（3）灵敏度分析表明算法在推荐参数范围内IGD波动不超过5%；（4）MOPSO在全部指标上领先，提示PSO类算法在连续空间轨迹规划中具有结构性优势。所提方法为NSGA-II类算法在多目标轨迹规划中的性能增强提供了可量化的方案，所建立的建模与评价体系可为其他多自由度机器人轨迹规划提供参考。

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