引言

四年级是小学计算学习的重要节点，学生在这期间要同时掌握三位数乘两位数的笔算、两位数作除数的试商、混合运算的顺序规则和小数加减法的位值对齐，任何一个环节的算理理解缺失都会在以后的学习中产生连锁性障碍。课堂观察和教学实践表明，不难发现一个反复出现的现象，即学生能背出步骤、写出算式，但是在变式题面前就会僵住，这就是算法记忆和算理理解之间断层的外在表现。提高计算能力不能只靠题量的积累，关键在于找到学生的思维卡顿点，从根本上重建算理认知。

一、计算能力的内在逻辑

（一）计算能力的内涵构成

计算能力不是单一的操作技能，它是数感、算理理解、算法掌握、速度和准确度的综合。数感给学生提供了对数量关系的直觉判断，使学生在开始计算之前就能大致估计出结果的范围；算理是运算规则成立的逻辑基础，回答的是“为什么这样算”；算法是经过抽象化后的操作程序，是算理的规范化表达。三者之间存在层次关系，数感是基础，算理是纽带，算法是结果。速度、准确度是在前三个能力达到一定程度之后，自然而然地产生的能力状态，不是通过机械重复可以单独培养的孤立指标。把速度准确度放在首位的训练取向，很容易造成学生停留在浅层操作而不能实现深层迁移。

（二）能力发展的认知机制

小学生思维特点决定计算能力习得途径要循着由具体操作到半抽象图示，再到抽象符号的递进过程。皮亚杰的具体运算阶段研究表明，四年级学生对于抽象符号的把握还很大程度上依靠视觉的支持。在引入新的运算规则的时候，如果跳过直观模型而直接呈现算法程序，学生虽然可以短时间内记住步骤，但是当情境发生变化时，就很容易失去判断的能力。该种认知局限不是学生个人的缺陷，是认知发展规律的正常现象。教学设计应该给算理理解赋予足够的直观过渡，而不能把算法记忆当作理解的替代品。

（三）计算素养的育人价值

计算能力对后面数学学习起着奠基的作用，从两个方面来讲，运算工具方面，准确、灵活的计算是解决问题的基本手段，思维训练方面，对算理的追问和推导本身就是逻辑思维的训练场。四年级下册编者的话中明确提出，“总结整数四则运算的意义和运算律”是本学期的新任务，这样的定位说明课程设计者有意把计算学习引向对规律的归纳和反思，而不仅仅停留在操作熟练度上。从这个意义上来说，计算教学的育人价值并不比概念教学低。

二、计算教学的现实阻滞

（一）算理理解浮于表面

四年级上册除数是两位数的除法中，四舍五入法试商的算理就是把除数近似为整十数，用整十数除法的口算直觉快速确定商的范围，再根据余数判断是否需要调商。但是，“把除数看作和它接近的整十数来试商”在教学实践中很容易被简化成“口诀记忆”，学生记住了“四舍五入”的操作步骤，但并没有理解为什么这样做能得到合理的初始商。于是，240除以26中先试商8不够后改商9的过程，对一些学生来说是猜而不是算，没有可以支撑的推理路径。算理的缺乏造成调商过程给学生造成了黑箱效应。

（二）训练方式机械重复

题海训练的低效性，很大程度上是由于练习设计的同质化。大量的同类题重复练习，只会加强学生对于已有算法路径的依赖，不能发展学生的运算结构弹性理解。以小数加减法为例，如果练习清单全部都是对位计算类题目，即使学生全部答对了，也不能在遇到0.6+7.91+3.4+0.09这样的需要运用运算律简算的题目时，主动识别出可以优化的运算结构。练习的质量是由认知层次的覆盖决定的，而不是题量的增加。

（三）错误归因笼统模糊

粗心是计算错误最常见的原因，但是这个标签却隐藏了错误背后的真正认知断点。笔算145×12时，把第二部分积的书写位置弄错，把进位数字漏掉，是两种性质完全不同的错误，前者是位值理解的缺失，后者可能是工作记忆容量的限制。如果两类错误都被归结为“不细心”，那么教师就无法有针对性地设计补救措施，学生也很难对自身的认知盲区有清晰的认识。

（四）学习兴趣持续低迷

计算训练的枯燥感，从根本上讲是练习和意义感的脱节。当学生不知道为什么需要学习试商、小数点对齐的意义是什么时，练习就变成了重复操作的形式，兴趣的消失几乎是不可避免的。该问题在四年级阶段比较明显，因为运算难度增大，情境支撑也相应减少，学生和数学之间的情感距离在这个阶段就容易拉大。

三、能力提升的实践路径

（一）算理可视化呈现

小数加减法中“小数点对齐”的规则，如果只作为操作要求来呈现，学生就会把其理解为格式规定而不是算理要求，一旦出现末位数不同的算式（1.4和0.08相加），就会出现右对齐的错误。教学时可以利用教材中的数位顺序表，将16.45和14.29的竖式与数位表格并列起来，十位对十位，个位对个位，十分位对十分位，百分位对百分位，学生在涂色格对应的过程中可以直观地感受到小数点对齐只是位值对齐的小数表达，和整数加法中个位对个位的逻辑是一样的。将规则从记忆的对象转变为理解的结论，之后的变式练习才会有稳固的算理作为基础。

同样的方法也可以用来做三位数乘两位数的笔算。教材中“145×12”竖式出现“第二部分积怎么写”的问题提示，其背后算理就是第二部分积实际是145×10的结果，十位上的积要从十位开始写，体现的是位值乘法的本质。教学过程中配合面积模型或者点阵图，将145×12拆分成145×2和145×10两个矩形的面积相加，学生看到两部分积的错位书写是结构决定的而不是随意约定的，理解程度比单纯的记住步骤要深刻得多。可视化工具的价值不仅仅体现在结果上，更在于把抽象的运算结构变成学生可以观察、触摸、操作的直观对象，使算理的习得从被告知变为被发现，这种转变对算理的长期保留和迁移运用有着根本的意义。

（二）分层训练科学设计

有效的分层训练要在一个知识点上设置不同的认知层次的练习序列。以《四则运算》中的括号内容为例，“96÷（12+4）×2”与“96÷[（12+4）×2]”这两道题，数字完全相同，仅括号结构不同，结果却从12变成3。对刚刚学会运算顺序规则的学生来说，可以先做简单的依规则运算题；基础题完成后，再加入一些结构变式的题，即要求学生在计算之前先标出运算顺序，再分步计算，加强括号层次的感知；进一步的提升层次，就是在已有的算式中加上括号，使结果发生变化，并说明加的位置。从执行规定、解释规则、创造规则的递进设计出发，对不同起点的学生都有针对性，不会造成反复操练同类题的认知停滞。

小数加减法部分，教材中“小丽”的简算思路——将0.6+7.91+3.4+0.09重组为（0.6+3.4）+（7.91+0.09）——提供了一个从算法执行走向算法优化的自然台阶。对已经掌握基本对位运算的学生来说，可以设计出识别简算机会的变式练习，即在计算之前先判断是否有可以凑整的组合，再决定是否需要调整顺序。本环节是培养学生运算结构感知能力的过程，不是简单的步骤重复。分层训练的设计原则是各个层次之间要具有逻辑上的连续性递进，不能仅仅依靠题目数量或者难度系数的简单叠加来体现差异，只有每一个层次的练习都指向明确的认知目标，分层才能真正服务于不同学生的最近发展区。

（三）错题精准归因诊断

错题本的价值不在于收集错题，而在于对错题类型进行分类，找出原因。对于除数是两位数的除法中出现的试商错误，引导学生将错题本上的错题分为商写大了（余数大于除数）、商写小了（需要继续调商）、除数近似失误（四舍五入的方向搞错了）三类。每种错误都用具体的算式进行配对，下面给出重新计算的过程以及一句“错在哪里，为什么”的文字说明。书写要求看似简单，其实把模糊的“算错了”变成具体的错误定位，诊断效果比单纯的重做原题好得多。

对于笔算乘法中“第二部分积”错位问题，如果学生多次出错，教师可以让学生在错题旁边画出简化版的位值对应图，标出每一部分积所对应的乘法意义，从而把格式错误追溯到位值理解的空白上。把错题本从补救工具变成个性化的算理诊断档案，就是从错误倒推算理的操作路径。错题归因的过程也是学生元认知能力发展的良好时机，学生用准确的语言描述出自己“错在哪里、为什么会错”时，其对运算过程的监控意识也跟着提高，这种自我诊断的习惯一旦养成，就会在以后的学习中起到预防的作用，减少同类错误的重复出现。

（四）游戏化情境激趣

游戏化情境的设计要以激活真实计算需求为前提，不能把计算题简单地套上游戏的外壳。以两位数除法试商练习为例，创设调商挑战情境，给出已经出现错误试商的竖式（240÷26先商8后发现余数32大于除数26），让学生找出错误并进行调商，说明调商的理由。该情境把容错和纠错作为游戏的机制，学生操作的目的也不再是算对一道题，而是找出并解释为什么不对，认知参与度由于目标的重新构建而明显提高。

班级里可以设立“计算擂台”，给学生出同样的算式，要求两人用不同的方法（顺序计算和简算）来完成，最后比较哪种方法更简洁。该种结构把计算练习从个体机械操作变成对方法选择的反思与比较，兴趣的维持依靠思维投入而不是竞争刺激，从而避免了游戏化设计流于形式的常见问题。游戏化情境设计的深层逻辑是，真正可以持续维持学生参与动机的，并不是表面的趣味包装，而是任务本身所具有的思维挑战性和成就可感性——当学生在游戏过程中清楚地感受到“我想明白了”“我找到了更好的方法”时，内在的认知满足感就成为推动学生持续练习的动力。

四、结语

算理理解同算法掌握之间的差距，是小学计算教学长久以来一直存在的主要矛盾。从四年级教材中可以看出，无论是试商方法的逻辑、混合运算的括号层次、小数加减法的位值对齐，每一个知识点后面都存在可以直观呈现的算理结构，课程设计本身就给算理可视化提供了充足的素材。真正要改变的，是把算法记忆当作教学终点的惯性取向，只有算理落地、训练分层、错误诊断精准，计算能力的提高才能成为可持续的认知生长，而不能是一次性的题量堆砌。

参考文献：

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