引言

高等数学是高等院校理工类专业的重要基础课程，其核心概念——极限、导数、微分、定积分等，具有高度的抽象性。极限描述的是“无限趋近”的动态过程，导数刻画的是“瞬时变化率”，定积分呈现的是“无限累加”的思想。这些概念无法通过单一的静态图像或公式推导让学生真正理解。正如周洪所指出的，高等数学课堂需要易学易用、快捷高效、深入学科教学的数学软件，以可视化的方法建立起“数”与“形”的有机联系，降低数学内容的理解难度。

在教育信息化普及的今天，传统教学方法的缺陷日益凸显，高等数学课堂需要用现代教育技术进行必要的改造和提升。为应对这一挑战，数学教育界一直在探索有效的可视化教学路径。一方面，GeoGebra作为集几何、代数、微积分于一体的动态数学软件，已在函数作图、微积分可视化方面展现出独特优势。研究表明，运用GeoGebra可以动态展示泰勒公式的逼近过程、定积分定义中黎曼和随分割数变化的趋势；还可以有效地区分导数、极值、单调性、凹凸性之间的内在联系。姜兆敏等通过具体教学案例验证了GeoGebra在辅助高等数学教学中的有效性，张敬信则基于GeoGebra构建了高等数学动态图形化教学资源库。数学软件MATLAB、Mathematica等虽然功能强大，但对教师的软件水平要求较高，制作课件也比较耗时、效率不高，很难在数学教学中普及。

近年来，以DeepSeek为代表的大语言模型在数学推理与代码生成方面取得突破，为数学概念的可视化教学开辟了全新路径。与传统的数学软件相比，DeepSeek具有三个显著优势。第一，交互方式从“学习软件操作”转变为“自然语言描述需求”，极大降低了师生的技术门槛；第二，生成内容为自包含的HTML文件，无需安装任何软件即可在浏览器中运行，实现了真正的“跨平台即时可用”；第三，可在课堂上根据学生反馈即时调整和优化，形成“按需生成、即时呈现”的动态教学模式。王广胜的研究指出，以DeepSeek为代表的AI工具正在推动应用型本科高校高等数学课程的数字化转型。李尤也强调，人工智能赋能高等数学教学的关键在于将AI能力无缝嵌入教学全流程，而非仅作为课后辅助工具。

文章旨在系统探讨DeepSeek在高数概念可视化教学中的应用方法。以极限、导数、微分、定积分等典型概念为例，展示如何利用DeepSeek生成动态交互网页，将抽象的数学过程转化为可操作、可观察的直观体验，为高等数学教学改革提供可复制的技术方案。

一、极限概念的可视化案例

（一）数列极限的动态演示

数列极限教学中“当n趋向无穷大时，a_n趋向于常数L”的核心难点是“无限过程”的抽象性。传统的静态公式无法让学生感知“趋向”的动态感。

教师可以在DeepSeek网页输入指令：“我想设计一个对数列极限概念理解的动态网页，请帮我写代码，可以转化为网页格式，并列举多个函数为例子。”

DeepSeek生成的HTML交互页面包含以下内容：数列选择复选框，可以选择4个不同的数列；一个动态散点图；一个“动态趋近”按钮，n会从当前值自动、平滑地向最大值增长，生动展示数列项逐步逼近极限的过程。学生也可以直接拖动滑块，手动探索任意项数n下的数列值。学生可以通过切换数列、拖动滑块或观看动画，直观地理解数列收敛于极限的动态过程。见图1。

（二）函数极限的趋近过程

函数极限涉及“自变量趋向正无穷大”和“自变量趋向负无穷大”时，函数值的动态变化过程。

教师可以在DeepSeek网页对话框输入指令：“我想设计一个对极限概念理解的动态网页，当自变量趋向于正无穷大和负无穷大时函数值动态变化趋向于常数的情况，请帮我写代码，可以转化为网页格式，列举多个函数为例子。”DeepSeek将生成“函数1/x+1的极限”的交互演示页面。点击函数下拉菜单，还可以切换不同的函数，并通过滑块或双向动画直观地观察函数值向极限常数趋近的过程。见图2。

二、导数、微分与定积分概念的可视化案例

（一）导数的几何意义

导数的核心概念“切线的斜率”建立在“割线的极限位置”之上。学生需要理解：当两点无限靠近时，割线的斜率趋近于切线的斜率。

教师可以在DeepSeek网页对话框输入指令：“我想设计一个对导数概念理解的动态网页，实现‘切线的斜率’是‘割线的极限位置’，请帮我写代码，并能够转化为网页格式。”

DeepSeek生成的动态交互页面包含：函数f(x)=x²的图像；曲线上标记两点A(x₀,f(x₀))和B(x₀+h,f(x₀+h))，其中x₀由滑块控制，h也由滑块控制；割线AB，割线AB的斜率值会显示出来；当h趋近于0时，割线逐渐与切线重合，割线的斜率趋向于函数在x₀处的导数f'(x₀)。

可以拖动滑块或观看动画，直观地观察割线如何随着动点B的靠近而趋近于切线，从而理解导数作为切线斜率的几何意义。见图3。

（二）微分概念——增量与微分的对比

微分dy与函数增量y的关系是微分学的另一个难点。学生需要理解：当dx很小时，y≈dy，且y-dy是的高阶无穷小。

教师可以在DeepSeek网页对话框输入指令：“我想设计一个对函数的微分概念理解的动态网页，请帮我写代码，可以转化为网页格式。”

DeepSeek生成的可视化动态网页包含以下三方面的内容：函数曲线上从点(x,f(x))到点的(x+h,f(x+h))的直线；dy,y两者数值的实时显示；y-dy的误差值及随dx减小而趋近于0的过程。见图4。

通过拖动dx滑块从较大值逐步减小，学生可以直观对比y与dy的接近程度：当dx较大时两条虚线长度差异明显；当dx趋近于0时两者几乎重合。这一动态对比使“微分是增量的线性主部”这一抽象结论能够直观地表现出来。

（三）定积分概念——无限分割与逼近

定积分的概念是学生最难理解的一个概念，分为“分割—近似—求和—取极限”四步。

教师可以在DeepSeek对话网页输入指令：“我想设计一个对定积分概念理解的动态网页，请帮我写代码，可以转化为网页格式。”DeepSeek可生成黎曼和逼近的交互页面包含以下内容：函数f(x)=x²在区间[0,2]上的图像，函数可以选择，有4个备用函数；滑块n 控制分割数；绘制n个矩形（可选择左端点、右端点或中点取高）；显示黎曼和数值、定积分精确值和两者误差；随着n 增大，矩形面积之和趋近于曲边梯形面积。见图5。

这个网页实验设计的最大优点在于其“眼见为实”的逼近过程：n=4时矩形与曲边梯形差异明显；n=10时已相当接近；n=50时几乎重合。误差数值的同步显示，进一步强化了“定积分是黎曼和的极限”的核心结论。

三、教学效果与反思

DeepSeek的可视化教学在高等数学教学中产生了显著成效。

首先，可视化教学降低了概念理解的门槛。传统教学中，极限、导数、积分等概念需要通过严格的数学定义和大量例题来“间接”传达。可视化方法将“间接理解”变为“直接观察”，学生通过操作滑块、观察动态变化，可以自行归纳出概念的核心特征。正如一位教师所观察到的：“当AI承担了重复性工作，课堂回归了思维碰撞的本质”。

其次，可视化教学实现了“即问即答”的课堂互动。DeepSeek的即时生成能力使教师可以响应学生的即时需求。当学生对某个概念产生疑问时，教师可现场描述需求并生成针对性的可视化页面，将抽象的数学关系转化为直观的图像。这种“按需生成”的模式超越了预设课件的局限，使教学更加灵活、响应更加精准。

第三，可视化教学可以培养学生数形结合思维。学生在操作DeepSeek生成的交互页面时，不仅是被动的观察者，更是主动的探索者。通过调整参数、对比变化、归纳规律，学生逐步建立起“符号表达”与“几何直观”之间的对应关系，这正是数形结合思维的核心。

四、结语

以DeepSeek大语言模型为技术支撑，文章系统探讨了高等数学概念可视化教学的方法与典型案例。研究覆盖极限、导数、微分及定积分等核心内容。教学实践表明，基于AI生成交互式网页的技术路径具备显著的可行性与有效性。DeepSeek辅助的可视化教学，它的优势集中表现为即时性：即时生成，即时调整，即时应用。教师无需掌握编程技能即可获得交互式可视化工具。根据课堂实时反馈，教师可现场提出修改指令，系统快速响应并优化页面。生成的HTML文件兼容所有浏览器，无需额外软件即可直接打开使用。

展望未来，随着大模型推理能力的持续增强与生成代码质量的稳步提升，AI辅助教学有望从当前教师主导的生成模式，拓展至学生自主探究的新阶段。同时，学生可自行用自然语言描述需求，生成可视化页面，并借助交互操作验证数学结论。在“做数学”的实践过程中，学生将建立更为深刻的概念理解。这一转变，或将对高等数学教学的既有形态与范式产生深远影响。

参考文献：

1. [1] 周洪.运用GeoGebra着力提升高等数学的教学质量[J].四川职业技术学院学报,2020,30(05):116-122.
2. [2] 张敬信.基于GeoGebra构建高等数学动态图形化教学资源库[J].科技风,2022(03):142-144.
3. [3] 李岩.基于GeoGebra的可视化教学在高等数学中的应用研究[J].中国信息化,2025(12):47-48.
4. [4] 姜兆敏,孟凤娟,曹毅,等.利用GeoGebra辅助高等数学教学的探索[J].江苏理工学院学报,2023,29(02):122-128.
5. [5] 李建涛. 高等数学课程中基于GeoGebra软件的信息化教学[J].辽宁大学学报(自然科学版),2021,48(04):381-386.
6. [6] 王广胜. AI赋能应用型本科高校高等数学课程数字化转型的探究——以DeepSeek为例[J].学园,2025,18(20):19-21.